【例7】如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（ ）
A．小球质量越大，所需初速度v0越大 B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大 C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关
D。小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0 解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv/R，v=gR
这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足 ?m v0=mg2R＋?mv，v0=5gR 答案：B 2、系统机械能守恒问题
【例8】如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.
解析:小球从A到D的逆运动为平抛运动,由机械能守恒,平抛初速度vD为mgh—mg2R=?mvD;vD?2g?h?2R??10m/s
22
2
2
所以A到D的水平距离为s?vDt?2g?h?2R?4R由机械能守恒得A点的速度v0为mgh=?mv0;v0?2
g?10m
h V0 A θ S 2gh?102m/s
由于平抛运动的水平速度不变,则VD=V0cosθ,所以,仰角为
??arccosvD1?arccos?450 v02【例9】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
解析：铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El，和增量表达式ΔEP=一ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．
（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0
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滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，EP/=－PLgL/4 E2
2
k2=?Lv即终态E2=－PLgL/4＋?PLv
由机械能守恒定律得E2
2= E1有 －PLgL/4＋?PLv=0，所以v=
gL/2
（2）利用ΔEP=－ΔEK，求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔE2
K=?PLv，所以v=
gL/2
点评（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．
（2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时重力势能的减少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解，留给同学们思考．
【例10】一根细绳不可伸长，通过定滑轮，两端系有质量为M和m的小球，且M=2m，开始时用手握住M，使M与离地高度均为h并处于静止状态．求：（1）当M由静止释放下落h高时的速度．（2）设M落地即静止运动，求m离地的最大高度。(h远小于半绳长，绳与滑轮质量及各种摩擦均不计)
解：在M落地之前，系统机械能守恒(M－m)gh=?(M+m)v2,v?2gh3 M落地之后，m做竖直上抛运动，机械能守恒．有： ?mv2
=mgh/
;h/
=h/3 离地的最大高度为：H=2h+h/
=7h/3
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五、 机械能守恒定律的应用
一、应用机械能守恒定律解题的基本步骤
（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）．
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增（减）量表达式，（3）就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量来列方程进行求解．
【例1】如图5一66所示一质量为m的小球，在B点从静止开始沿半球形容器内壁无摩擦地滑下，B点与容器底部A点的高度差为h，容器质量为M，内壁半径为R．求：
（1）当容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A时，容器内壁对小球的作用力大小． （2）当容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A时，小球相对容器的速度大小． 解析：（1）m下滑只有重力做功，机械能守恒mgh=?mv
2
达底端A，根据牛顿第二定律T－mg=mv2
/R所以T=mg＋2mgh/R=mg（1＋2h/R）
（2若容器在光滑水平桌面上，选m和M为研究对象，系统机械能守恒，水平方向上动量守恒 mgh=?mv2
＋?Mu2
1，0=mv十Mu1 所以u1=－mv/M
m?M 代入得mgh＝?mv2
2ghMM，所以v=M，小球相对容器的速度大小为v/＝v—u1＝v十
mv/M
所以v/
=
2gh?m?M?M
答案：（1）mg（1＋2h/R），（2）
2gh?m?M?M
规律方法 1、机械能守恒定律与圆周运动结合
物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位里时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量．
【例2】如图1所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求（1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。
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解：（1）由机械能守恒有：mgl=?mvC;vC?2
2
2gl (2) 在最低点，由向心力公式有T－mg=mv/l;T=3mg;
【例3】在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=30角，如图2所示．求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力．
解：mgl?1?sin???0
12mvC;vC?2gl?1?sin???gl 2T?mg?mv2l,T?2mg
【例4】如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置
解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为V，由机械能守恒定律得：
mg?l?2r??12mv 2v223在最高点，由向心力公式有：mg?m,r?l,OP?l
r55【例5】如图5—69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角30（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？
错解：由机械能守恒定律：mg1·5l=?mv， 所以最低点动能为1．5mgl
分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题．
正确解法： vB=2gl，其方向竖直向下，将该速度分解如图5一70所示 v2＝vcos30=2glcos30
0
0
2
0
2 由B至C的过程中机械能守恒 ?mv2十mg0.5l=?mvC 2 由此得?mvC=5mgl/4
2答案：5mgl/4
点评：通过例5、例6两题，人们会有这种想法：为什么例 5中在速度改变瞬间（B点）有能量损失，而例 6中就没有能量损失，这其中原因是什么呢？仔细考虑可知：例6中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度的大小，而例5中虽然速度大小发生了变化（v2＜vB）．由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力T产生的冲量使沿绳方向的动量发生了变化，
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即TΔt＝mv1，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒定律．
【例6】如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）
解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。
mgL?mgL?12mv2mg?112B?3L?2mvC; 由于B、C角速度相同，v2B?3vC 解得：v30gLC?13 对于C球,由动能定理得WBC?mgL?12mv22c?0,解得杆BC段对C球做功WBC?13mgL 2、机械能守恒定律的灵活运用
【例7】如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m1，和女演员质量mm1
2之比m =2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。
2
解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为A R O v0，由机械能守恒定律
2
B (m1+m2)gR=? (m1+m2)v0
5设刚分离时男演员速度的大小为v1,方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量C 守恒，
(m1+m2)v0=m1v1－m2v2
s 分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的
时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=12
2 gt s=v1t
根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,m12
2gR=2 m2v2
已知m1/m2=2,由以上各式可得 s=8R
【例8】如图5 -4 -5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固
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