2015年上海二模数学卷
数学试卷(文理合卷)
(2015年4月21日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
(x?2)01．函数f(x)?lg(x?3)?的定义域是 ．
x?12．函数y?log2(x2?1)的单调递减区间是 ．
3．已知集合A?x|x2?16?0,x?R,B??x|x?3?a,x?R?，若B?A，则正实数a的取值范围是 ．
4．若二次函数y?2x2?(m?2)x?3m2?1是定义域为R的偶函数，则函数
??f(x)?xm?mx?2(x?1,x?R)的反函数f?1(x)= ．
5．已知角?的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点
P??3a,4a?(a?0,a?R)，则cos2?的值是 .
6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?b?c?2bcsinA，则 ?A= ．
7．在等差数列?an?中，若a8??3,a10?1，am?9，则正整数m? ． 8．已知点A(?2,3)、B(1,?4)，则直线AB的点法向式方程是 ．
222x2y2?1(a?0)的一个焦点重合，则双曲线的9．已知抛物线y?16x的焦点与双曲线2?a122渐近线方程是 ．
10．已知AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，若OO1?4，平面?过点O1且垂直
AB，截得圆O1，当圆O1的面积为9?时，则球O的表面积是 ．
11．若二次函数y?f(x)对一切x?R恒有x2?2x?4?f(x)?2x2?4x?5成立，且
f(5)?27，则f(11)? ．
x?3?t,12．(理科)在平面直角坐标系中，直线l：?(t是参数，t?R)，圆?y?3?2t??x?2cos?,(?是参数，??[0,2?)) ，则圆心到直线的距离是 ． C:??y?2?2sin??x?y?3(文科) 设点(x,y)位于线性约束条件?，则目标函数?x?2y?1?0所表示的区域内（含边界）
?y?2x?z?2x?y的最大值是 ．
13．(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若
用随机变量?表示随机摸一个球的得分，则随机变量?的数学期望E?的值是 分．
(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是是 ．
2，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率5????????????14．(理科)已知点B(4,0)、C(2,2)，平面直角坐标系上的动点P满足OP???OB???OC(其
中O是坐标原点，且1???a,1???b)，若动点P组成的区域的面积为8，则a?b的最小值是 ．
????????????????????????(文科) 在?ABC中，|AB|=3,|BC|?1，且|AC|cosB=|BC|cosA，则AC?AB的数值
是 ．
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在空间中，下列命题正确的是 [答]
( )．
A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b
B．空间不同的三点A、B、C确定一个平面
C．如果直线l//平面?且l//平面?，那么?//?
D．若直线a与平面M没有公共点，则直线a//平面M
16．设实数a1,a2,b1,b2均不为0，则“
a1b1?成立”是“关于x的不等式a1x?b1?0与a2b2集
相
同
”
的
a2x?b2?0[答] ( )．
的解
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要
条件
z是z的共轭复数) [答] 17．若复数z同时满足z?z?2i，z?iz，则z? (i是虚数单位，
( )．
A．1?i B．i C．?1?i D． ?1?i
18．已知数列?an?共有5项，满足a1?a2?a3?a4?a5?0，且对任意i、j(1?i?j?5)，有ai?aj仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题： (1)a5?0；(2)4a4?a1；(3)数列?an?是等差数列； (4)集合A?x|x?ai?aj,1?i?j?5中共有9个元素．
??则其中真命题的序号是
[答]( )．
A．(1)、(2)、(3)、(4) B．(1)、(4) C．(2)、(3) D．(1)、(3)、(4) 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1、C1、B三点的平面截1?3，过A去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1．
(理科)(1) 若AC11的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(2)求点D到平面A1BC1的距离d．
（文科）(1) 求几何体ABCD?AC11D1的体积，并画出该几何体的左视图(AB平行主视图投影所在的平面)；
A1D1C1DABC(2)求异面直线BC1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
第19题图
20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
13 已知函数g(x)?sin2x?函数f(x)与函数g(x)的图像关于原cos2x?1，x?R，
22点对称．
(1)求y?f(x)的解析式；
(2)(理科)求函数f(x)在[0，?]上的单调递增区间． (2)(文科) 当x?[?
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 有一块铁皮零件，其形状是由边长为40cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形
ABCDE，其中
??,]时，求函数f(x)的取值范围． 42，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮AF?12cm,BF?10cmDMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD,DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM?xcm，矩形DMPN的面积为ycm．
2(1)试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式， 并写出定义域；
(2)试问如何截取(即x取何值时)，可使得到的矩形DMPN的面积最大？
第21题图 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
（理科）已知数列?an?满足a1?*1，对任意m、p?N*都有am?p?am?ap． 2(1)求数列?an?(n?N)的递推公式； (2)数列?bn?满足an?bbb1b?22?33????(?1)n?1nn(n?N*)，求通项公式2?12?12?12?1bn；
(3)设cn?2n??bn，问是否存在实数?使得数列?cn?(n?N)是单调递增数列？若存在，
*求出?的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
（文科）
已知数列?an?满足a1?2，对任意m、p?N*都有am?p?am?ap． (1)求数列?an?(n?N)的通项公式an；
* (2)数列?bn?满足an?bbb1b+22?33???nn(n?N*)，求数列?bn?的前n项和2?12?12?12?1Bn；
(3)设cn?
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知点F，平面直角坐标系上的一个动点P(x,y)满足1(?2,0)、F2(2,0)Bn*n?N，求数列()中最小项的值． c??nn2?????????|PF1|+|PF2|=4．设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)点M是曲线C上的任意一点，GH为圆N:(x?3)?y?1的任意一条直径，求??????????MG?MH的取值范围；
22???????? (3)（理科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证
明：直线AB与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．
????????（文科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证明：
原点O到直线AB的距离是定值．