二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC中，“sinA?
A．充分非必要条件 C．充要条件
??1”是“A?”的??????????????（ ）
62B．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
?16．已知平面直角坐标系内的两个向量a?(1,2)，b?(m,3m?2)，且平面内的任一向
量c都可以唯一的表示成c??a??b(?,?为实数），则实数m的取值范围是（ ）
A．(??,2)
B．(2,??)
C．(??,??)
D．(??,2)?(2,??)
????17．极坐标方程(??1)(???)?0（??0）表示的图形是??????????（ ）
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
18．在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，PD?AD?2，?BAD?60?，E为BC的中点．
2体积与四棱锥V?ABCD的体积之比为?????????????????（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3
A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.
（1）求证：ED?平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．
P
D
C
E A
B 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)?与气象有关的参数，且a??0,作M(a)．
（1）令t?x3，x?[0,24)，其中a是?a?2a?x2?14??1?．若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记?2?x，x?[0,24)，求t的取值范围； x2?1（2）求M(a)的表达式，并规定当M(a)?2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，点B(0,b)，
ab过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2F1F2?F2D?0．
（1）求证：△BF1F2是等边三角形；
（2）若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程；
（3）设过（2）中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，
?M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列{an}中，a1?3，a2?5，{an}的前n项和为Sn，且满足 ． Sn?Sn?2?2Sn?1?2n?1（n?3）
（1）试求数列{an}的通项公式；
12n?1（2）令bn?，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn?；
6an?an?1?1?（3）证明：对任意给定的m??0,?，均存在n0?N?，使得当n?n0时，（2）中的
?6?Tn?m恒成立．
数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1．{x?2?x??1或1?x?2} 2．4 3．5 4．?0,5．2 6．256 7．2 8．(0,4) 9．[3?1,1) 10．12．
??1? ?4?5 11．472 91?3? 13．??,?2? 14．1030 2?2?
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，
2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）
解得cosC??1（舍），或cosC?所以，C?1． ??????（5分） 2?3． ??????（6分）
（2）由正弦定理，
c?2R，得sinCcsin?3?4，所以c?4sin?3?23． ???（2分）
a?2R，得a?2， ????（4分）
6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）
22因为A?，由
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
P （1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，
所以，BD?2，DE?BC， ??????（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，?????（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，??（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．?（6分）
D
（2）以D为原点，DA，DE，DP所在直线
E A 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
B 由（1）知平面PAD的一个法向量为n1?(0,1,0)，
又B(1,3,0)，C(?1,3,0)，P(0,0,2)，E(0,3,0)， 所以CB?(2,0,0)，PE?(0,3,?2)，??（2分） 设平面PBC的一个法向量为n2?(x,y,z)，
?C
??n2?CB?0,?x?0,由?得? ??n2?PE?0,?3y?2z?0,取y?2，则z?3，故n2?(0,2,3)， ????（4分） 设n1与n2的夹角为?，
P z D E y B 227则cos??．????（7分） ??7n1?n21?7n1?n2C A x 所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
27．??（8分） 7（2）解法二（图略）
在平面PAD上，过P作PF∥DA且PF?DA，连结BF，则四边形PCBF是平行四边形，即直线PF是平面PAD与平面PBC的交线．??????（2分） 因为BC?DE，BC?PD，所以BC?平面PDE，故BC?PE，
所以PE?PF，又PD?PF，所以?DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角． ????（5分） 在Rt△PDE中，DE?3，PE?PD2?DE2?7，????（6分）
cos?DPE?PD227． ????????（7分） ??PE7727．??（8分） 7所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当x?0时，t?0； ??????（2分）
2当0?x?24时，因为x?1?2x?0，所以0?x1?， ????????（4分） x2?12?1?． ??????????????（5分） ?2??x?1??1?（2）当a??0,?时，由（1），令t?2，则t??0,?， ????（1分）
x?1?2??2?3?3a?t?,0?t?a,3??4所以f(x)?g(t)?|t?a|?2a??? ??????（3分）
4?31t?a?,a?t?,?42??1?于是，g(t)在t??0,a?时是关于t的减函数，在t??a,?时是增函数，
?2?351?1??1?因为g(0)?3a?，g???a?，由g(0)?g???2a?，
442?2??2?15?1?所以，当0?a?时，M(a)?g???a?；
44?2?311当?a?时，M(a)?g(0)?3a?，
44251?a?,0?a?,??44即M(a)?? ????????????（6分）
311?3a?,?a?.?442?5由M(a)?2，解得0?a?． ????????????（8分）
12?5?所以，当a??0,?时，综合污染指数不超标． ??????????（9分）
?12?即t的取值范围是?0,
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）设D(x0,0)（x0?0），由F2(c,0)，B(0,b)，故F2B?(?c,b)，BD?(x0,?b)， 因为F2B?BD，所以?cx0?b2?0， ????（1分）
?b2?b2?x0??，故F2D????c,0?c?，??（2分） c???b2?0，所以，b2?3c2．??（3分） 又F1F2?(2c,0)，故由2F1F2?F2D?0得3c?cb所以，tan?BF2F1??3，?BF2F1?60?，即△BF 1F2是等边三角形．???（4分）
c（2）由（1）知，b?3c，故a?2c，此时，点D的坐标为(?3c,0)，??（1分） 又△BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1(?c,0)，半径为2c，????（3分）