当n?1时，a1?于是，bn??b1?b1?6． 2?1 (n?1)?6，?22n?1?2. (n?2,n?N)n?1*
当n?1时，B1?b1?6； 当n?2时，
Bn?b1?b2?b3???bn =6+(22?2?1+22?3?1+22?4?1+?+22?n?1)+(22?1+23?1+24?1+?+2n?1)23(1?4n?1)2(1?2n?1) =6+?1?41?224 =?4n?2n?.332114又n?1时，Bn??4?2??6，
332n4n* 综上，有Bn??4?2?，n?N.
33B1Bn?3， (3)?cn?n，c1?1222n41* ∴cn??2??n?1，n?N．
3322n41241?2??n?1?(?n?12??n?1?1)332332
21 =(2n?1?n?1)?0(n?2).32?cn?cn?1? ∴数列?cn?(n?N)是单调递增数列，即数列?cn?中数值最小的项是c1，其值为3．
*
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
解(1)依据题意，动点P(x,y)满足(x?2)?y?(x?2)?y?4.
又|F1F2|?22?4，
因此，动点P(x,y)的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且?2222??2a?4,?b?2．
??2c?22x2y2??1． 所以，所求曲线C的轨迹方程是42(2)
设M(x0,y0)是曲线C上任一点．依据题意，可得
?????????????????????????????MG?MN?NG,MH?MN?NH．
?GH是直径， ??????????????NH??NG．又|NG|=1，
?????????????????????????????MG?MH=(MN?NG)?(MN?GH)?????????????????? =(MN?NG)?(MN?NG)
????????? =|MN|2?|NG|2.?????2 ?|MN|?(x0?3)2?(y0?0)2
＝
1(x0?6)2?7． 2x2y2 由??1，可得?2?x?2，即?2?x0?2．
42???2?? ?1?M|N|?，205?????2????2 4 ?M|N?|N|G．? | 2???????????????????? ?MG?M的取值范围是H0?MG?MH?24．
?????2(另解1?MN|?||O|M?|O|?N||M?|N：结合椭圆和圆的位置关系，有25|O?(|当且仅当MONM、N、O共线时，等号成立)，于是有
1?|MN|?5．)
（理科）
(3)证明 因A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点，由曲线C关于原点对称，可知直线AB也关于原点对称．若直线AB与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证
明原点到直线AB的距离(d)是定值即可．
设|OA|?r1,|OB|?r2，点A(r1cos?,r1sin?)，则 B(r2cos?(?r2?2),?s?in?(?r2?2?))r2(?．s in,cos)2211rr21． 21 利用面积相等，有|OA|?|OB|?|AB|?d，于是d??2211r12?r22?r12r12?cos2?sin2?1?r12cos2?r12sin2??4?2?r2,??1,?142 又A、B两点在曲线C上，故? 可得? ??222222?sin??cos??1.?r2sin??r2cos??1.??2r22?42?4 因此，1?1?3．
r12r224 所以，d?2423，即d为定值． 3322所以，直线AB总与定圆相切，且定圆的方程为：x?y?（文科）
4． 3 (3)证明 设原点到直线AB的距离为d，且A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点．
10若点A在坐标轴上，则点B也在坐标轴上，有
11|OA||OB|?|AB|?d，即22d?aba2?b2?23． 3
20若点A(xA,yA)不在坐标轴上，可设OA:y?kx,OB:y??1x． k4?2?x2y2x?,A2???1,??1?2k 由?4 得? 22?y?kx.?y2?4k.?A?1?2k2??24k2x?,设点B(xB,yB)，同理可得，??B2?k2
??y2?4.B?2?k2?2223(1?k2)1?k1?k22于是，|OA|?2，|OB|?2，|AB|?OA?OB? ．
2221?2k22?k(2?k)(1?2k)利用
1123|OA||OB|?|AB|?d，得d?． 223002可知，总有d?综合1和2323，即原点O到直线AB的距离为定值． 33(方法二：根据曲线C关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA?OB，求出A、B的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)
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上海市2015高三数学二模试卷
一、填空题（每小题4分，共56分）
x1．已知集合A???1,0,a?,B?x1?2?2，若A?B??，则实数a的取值范围是
??2．函数y?cos(x???)?sin?(x?)的最小正周期为 ． ???3．在等差数列{an}中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6? ． 4．若tan???2，?是直线y?kx?b的倾斜角，则?= ．（用?的反正切表
示）
5．设(1?2i)z?3?4i（i为虚数单位），则|z|? ．
6．直角坐标系xoy内有点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕直线y?1旋转一周，所得到几何体的体积为 ．
??????x?y17.已知平面向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，若a?2,b?3,a?b??6，则1?
x2?y2ax8．设a?0,a?1，行列式D?221301中第3行第2列的代数余子式记作y，函数4?3y?f?x?的反函数经过点?2,1?，则a= ．
9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为
432，,，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合555格的概率为 ．
x2y210．已知P是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为椭圆的左、
ab开始 输入n n≤5 Y Tn←－n2＋9n 输出Tn 结束 （第11题图）
N 11右焦点，则的最小值为 ． ?PF1PF211．已知{an}是等差数列，设Tn?a1?a2???an(n?N)．某学生设计了一个求Tn的算法框图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←____________．
?112．不等式x??a?2?siny对一切非零实数x,y均成立，则实数a的
x范围为
13．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，已知点B(1,0)，点
M
是直线
kx-y+k+3=0(k?1)上的动点，d(B,M)的最小值为 ．
14．当n为正整数时，用N(n)表示n的最大奇因数，如N(3)?3,N(10)?5,?，设
Sn?N(1)?N(2)?N(3)?N(4)???Nn(2??1)Nn，则数列?Sn?Sn?1?(n?2)的前(2n项和的表达式为 ．
二、选择题（每小题5分，共20分）