三、模型假设
1.文中所有的折叠点都取每根木条折叠边的中点； 2.在计算交点时，将钢筋和木条都近似视为直线。
四、 模型建立及求解
(一) 给定长方形平板尺寸,木条宽,钢筋位置,桌子高度,描述此折叠桌的动态变化过程,给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
首先建立如图1所示的坐标系，设Q,Q'分别是固定钢筋的两端点,Ai表示每根木条与桌面的连接
Bi表示初始状态钢筋与木条交点坐标，点坐标，Ci表
示最终状态时木条各端点的坐标，则由已知长方形
平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm， Q(23.75,15.29271166,25)，Q'(?23.75,15.29271166,25)，利用Maple软件编程(程序见附录1)可得以下点的坐标：
表1 :Ai点的坐标
Ai A1 A2 图1
xi yi zi 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 7.806277498 13.16956719 16.53594569 18.99835519 20.87911636 22.32571387 23.41874249 0 0 0 0 0 0 0 A3 A4 A5 A6 A7 3
A8 A9 A10 6.25 3.75 1.25 24.20614591 24.71714992 24.96873044 0 0 0 表2 :初始状态钢筋与木条交点Bi坐标
Bi B1 B2 xi yi zi 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 表3 :最终状态时木条各端点Qi的坐标
Qi xi yi zi Q1 Q2 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 22.77917580 17.13241324 14.50714301 12.98654004 12.34771706 50.00000000 46.66246330 43.41040115 40.55850960 38.17929310 Q3 Q4 Q5 4
Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 12.12321341 12.11068959 12.18547864 12.27129624 12.32427000 36.26651945 34.78959512 33.71502812 33.01484220 32.66965480 由于直线QQ'与x轴平行，故其方向向量为：QQ'?S?(1,0,0)。设另一边钢筋固定点为P，则P点坐标为（23.75，-15.29271166, 25）。于是，所以QQ'?QP?0 故四个钢筋固定点构成一个矩形，设此矩形QP?(0,30.58,0)。
所在平面为?。则每根木条与平面?的射影与QQ'垂直。从而由三垂线定理，
QQ'与每根木条垂直，于是可得
表4 :最终状态下钢筋与木条交点坐标： Ci xi 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 yi 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 25.29271166 zi 25 25 25 25 25 25 25 25 25 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 由几何关系可得第i根木条的开槽长度为AiCi?AiBi，接下来计算槽长：
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表5 :开槽长度 木条根数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |AiCi| 26.09687625 25.08999177 25.03089418 25.27314565 25.61655839 25.97043134 26.28749873 26.54146837 26.71741535 26.80719292 |AiBi| 26.09687625 20.73355656 17.36717806 14.90476856 13.02400739 11.57740988 10.48438126 9.696977838 9.185973828 8.934393308 开槽长度 0.000000000 4.356453782 7.663766472 10.36845985 12.59266285 14.39315773 15.80327312 16.84466053 17.53162098 17.87298377 利用Matlab软件(程序运行结果见附件1)，拟合出最终状态时木条各端点Ci的曲线及数学表达式：
首先将上面所得到的各个端点的坐标分别投影到xOy平面和yOz平面，利用投影法拟合出参数方程。利用投影点坐标对x, z坐标及y, z坐标分别进行拟合得空间曲线的参数方程如下:
?xk(t)?a1t4?a2t3?a3t2?a4t?c1?432?yk(t)?b1t?b2t?b3t?b4t?c2 ?z(t)?t?kMatlab程序：
format long
a1=[22.7791758 17.13241324 14.50714301 12.98654004 12.34771706 12.12321341 12.11068959 12.18547846 12.27129624 12.324270 12.324270 12.27129624 12.18547846 12.11068959 12.12321341 12.34771706 12.98654004 14.50714301 17.13241324 22.7791758 1.25 3.75 6.25 8.75 11.25 13.75 16.25 18.75 21.25 23.75 26.25 28.75 31.25 33.75 36.25 38.75 41.25 43.75 46.25 48.75
0.000 3.3375 6.5896 9.4415 11.8207 13.7335 15.2104 16.2850 16.9852 17.3303 17.3303 16.9852 16.2850 15.2104 13.7335 11.8207 9.4415 6.5896 3.3375 0.0000 ];
y=a1(1,:); x=a1(2,:); z=a1(3,:);
z1=polyfit(x,z,4) y1 =polyfit(x,y,4) plot3(x,y,z,'ro')
拟合得出：
a1,a2,a3,a4,c1分别为: -0.000002370740056 0.000237074005637 -0.038709051387478 1.639110062327408 -2.109047703094988
6
b1,b2,b3,b4,c2分别为: 0.000053517376559 -0.005351737655853 0.187861045146665 -2.703380187516794 25.483607701325582 图2：空间曲线拟合图
图3：曲线在xOy面的投影
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