周世国：曲线曲面积分部分难题解答
曲线、曲面积分部分难题解答
1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）?xyds，l为抛物线y?2x上从原点O(0,0)到点A(2,2)的弧OA；
2?l（ⅱ）?l?x2（ⅲ）?l?y22?ds，l为联结点O(0,0)、A(2,0)和B(0,1)的三角形围线；
2x?yds，l为圆周x2?y2?ax?a?0?；
2（ⅳ）?l?x2?y?z2?ds，l为螺线x?acost,y?asint,z?bt?b?0?的 一段弧
?0?t?2??；
?x2?y2?z2,（ⅴ）?lzds，l为曲线?2上从点O(0,0,0)到A(a,a,a2)的一段弧.
??y?axa?0?1??x?y2,解：（ⅰ）l:?y??0,2?，ds?2??y?y,?dx?1???dy??dy???21?ydy.
2所以
?xyds?l?2120y.y.1?ydy1212tan3322（令y?tant） ?2 ? ? ??arctan20arctan2t.sectdt?arctan2120tan2t.sectd?sect?
2?0?sec2t?1.sectd?sect?
?1?1153sect?sec2?3?5?arctant?|?02?1?12??5?5?5??13?5?3?15?1?3??
?1?12?55155?55???. ??2?315?3152（ⅱ）解：?l?x2
?y2?ds??2OA??AB?2?OB
??xOA2?yds?2???x0?0.1?0dx?2??20xdx?283;
，其中：OA:??y?0,?x?x2,0?x?2.
1??xAB2?yds?????2?2y?0102?y.1???2?dy
22? ?5?5y?8y?4dy??2?535.
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其中：AB:??y?y,?x?2?2y,2,0?y?1.
??xBO2?yds????0012?y2?.1?0dy?2?20ydy?213.，
?x?0,其中：BO:?,0?y?1.
y?y?所以
I??OA??AB??OB?535?3.
（ⅲ）
aa?x??cost,??22解法一：l:?,0?t?2?.
?y?asint?2?x??t??y??t?dt?22ds?a?a??a???sint???cost?dt?dt.
2?2??2?2?2?a2a2?1?cost??sin?44?222所以，?x?yds?l22?0?at?dt ?2 ?a24a?22?02?1?cost?dt?a24?2?02.2sin2t2dt
?2?2?0sint2dt?a2?2?0sint?t?t?2?2?2d???a??cos?|?2a. 2?2?2?0??解法二：化l为极坐标表示：l:r????acos?,????,?. ?22?则
2?x?r???cos??acos?,??,????. l:?2??acos?.sin?2?y?r???sin??? ds?22r????r????dt?22?acos??22???asin??dt?ad?.
2所以，?x?yds?l????acos2?2?2????acos?sin??ad?
???2? ?a?2??2acos?d??2a222?20cos?d??2asin?|2?2a.
220 2
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（ⅳ） dsl?x??t??y??t??z??t?dt?222??asint?222??acost??bdt?22a?bdt
22 ??x2?y2?z2?ds? ? ?a?b2?322???acost?2?022??asint???bt?.a?bdt
2???a022?2?btdt?22?2?2b3?2?a?b?at?t?|
03??22?3a2?4b?2?a?b.
222．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆l:求它的总质量.
解：不妨假设a?b.
M?xa22?yb22其密度??x,y??y.?1上，
?lyds?4?ydsl1，其中l1;?2?x?acost,??t??0,?2?y?bsint,??. ?2 ds?所以
x??t??y??t?dt?2??asint?2??bcost?dt?asin22t?bcostdt.
22?M?4?yds?4?2bsintasinl1022t?bcostdt
22 ?4?2bsinta2??a2?b2?cos2tdt
0? ??4b?2a2??a2?b2?cos2td?cost?
0? ??4b?01a?a?budu?4b??222?22?210a?a?budu
2?22?2 ?4ba?b?22a220a?b?udu2（公式）
a222?a2?2222?a?b.arcsin ?4ba?b.?2????2a22?.arcsin ?4ba?b.?2a2?b2??ua222u?a?b2a?b??u?1? |?0??2aa?ba22222???a?b2??1?? ??? 3
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? ?2b.???a22.arcsin2a?ba22a?b??b?. ??3．（P202,第3题）设曲线l的长度为L，而函数f在包含l的某个区域内连续.证明：
?f?P?dsl?L.maxf?P?.
P?l证明：由第一型曲线积分的定义
故
n?f?P?dsl?limd?0?f?P?.?s
iii?1?f?P?dsln?limd?0?f?P?.?s
iii?1n ?limd?0?f?P?.?s
iii?1 ?limd?0?f?P?.?sii?1ni?limd?0?maxf?P?.?si?1p?lni
?L.maxf?P?.
P?l4．（P202,第4题）从原点O?0,0?到点A?1,2?沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分
?xdy?ydx.
?OA（1）.OA为直线段；
（2）.OA为抛物线y?2x2上的弧；
（3）.OA为从点O?0,0?经点B?1,0?到点A?1,2?的折线OBA. 解： （1） OA:?
???????y?2x,?x?x?,x:0~1.
1?OAxdy?ydx???x.2?2x?dx0?0.
?y?2x2,,x:0~1. （2）OA:?x?x?
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??OAxdy?ydx???x.4x?2x2?30dx?3x|0?3.
（3）??xdy?ydx?OA???2?2.OB??0BA
其中，OB:?y?0,?,x:0~1.?x?x.
?1OBxdy?ydx??0?x.0?0?dx?0;
其中，BA:?1,??x?y?y.,y:0~2. ?2BAxdy?ydx??0?1?y.0?dy?2.
5．（P202,第5题）计算曲线积分 ?lydx?xdy.
（1）.l为从点?a,0?点??a,0?的上半圆周y?a2?x2?a?0?；
（2）. l为从点?a,0?点??a,0?的直线段?a?0?； （3）. l为逆时针方向的圆周x2?y2?a2. 解： （1）
l:?x?acost,??y?asint,t:0~?.
?lydx?xdy???0??asint??.?asint???acost??.acost??dt ?2 ?a2?0cos2tdt?a2sin2t|?0?0.
（2）l:?y?0,??x?x,x:a~?a.
?lydx?xdy??a?a?0?x.0?dx?0.
（3）l:??x?acost,?y?asint,t:0~2?.
?2?lydx?xdy??0??asint??.?asint???acost??.acost??dt 2?2?a2?0cos2tdt?a2sin2t|2?0?0.
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