周世国：曲线曲面积分部分难题解答
因为
?P?y??2xe?y??Q?x；
?y?Q?z??sinz??R?y；
?R?x?0??P?z. ?x,y,z??R.
3所以，
2xe?yf?2xe?,cosz?xe?y2?y,?ysinz为定义在全空间上的保守场.所以，
zdz?dx??cosz?xe2?dy?ysin2xe?y是某一个函数u?x,y,z?的全微分.
（二）现取
u?x,y,z?????x,y,z?0,0,0?dx?cosz?xe?2?y?dy?ysinzdz
取M0M如图所示，从M0?0,0,0?沿x轴到点M1?x,0,0?再沿平行于y轴的直线到点
M2?x,y,0?最后沿平行于z轴的直线到点M?x,y,z?.于是
u?x,y,z???x02xex?0dx???cos0?x0y0y2e?y?dy??z0z0?ysinzdz
?x2|??y?x2e?y?|?ycosz|?x2???y?x2e?y??x2???ycosz?y?
0 ?x2e?y?ycosz. 则，所求的位势为
u?x,y,z??c?x2e?y?ycosz?c.
26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：
(1).?
?1,2?ydx?xdyx2?2,1?;(2).??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz.
解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D内保守力场
f??P?x,y?,Q?x,y??
有位势u?x,y?，则对D内的任意两点M1?x1,y1?,M2?x2,y2?，有 事实上，因为
???x2,y2?x1,y1?P?x.y?dx?Q?x,y?dy?u?x2,y2??u?x1,y1?.
f??P?x,y?,Q?x,y??为保守力场，故
?P?x.y?dx?Q?x,y?dy在D内与路径无关，而只取决于路径的起点、
l终点.
令 v?x,y?????x,y?x1,y1?P?x.y?dx?Q?x,y?dy （1）
则可证明v?x,y?也是f在D内的一个势函数.故
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u?x,y??v?x,y??C ，对任意?x,y??D成立 （2） （2）式中取?x,y???x1,y1?，并注意到v?x1,y1??0（因为沿闭合曲线的积分为零），得
C?u?x1,y1??v?x1,y1??u?x1,y1? （3） （2）式中再取?x,y???x2,y2?，并注意到v?x1,y1??0,得
u?x2,y2??v?x2,y2??C 即
v?x2,y2??u?x2,y2??C??3?u?x2,y2??u?x1,y1?.
???????????又由（1）式，注意到v?x,y?的记号，得 ??x2,y2??xP?x.y?dx?Q?x,y?dy?u?x2,y2??u?x1,y1?.
1,y1?（二）(1).??1,2?ydx?xdyP?x,y??y?2,1?x2中，x2，Q?x,y???xx2??1x.
因为 ?P?y?1x2??Q?x，?x,y??R2,x?0.
所以，ydx?xdyx2是某一个函数u?x,y?的全微分.
故可取
u?x,y????x,y?ydx?xdyx?1,0?x2??10dx??y???1?y0?x?dy???x.
所以
??1,2?ydx?xdy?2,1?x2?u?1,2??u?2,1???21????1????3. ?2?2(2).??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz.中，
P?x,y,z??yz,Q?x,y,z??zx,R?x,y,z??xy.
因为
?PP?y?z??Q?x；
?Q?z?x??R?y；
?R?x?y???z. ?x,y,z??R3.
所以，yzdx?zxdy?xydz是某一个函数u?x,y,z?的全微分.
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（二）现取
u?x,y,z?????x,y,z?0,0,0?yzdx?zxdy?xydz
取M0M如图所示，从M0?0,0,0?沿x轴到点M1?x,0,0?再沿平行于y轴的直线到点
M2?x,y,0?最后沿平行于z轴的直线到点M?x,y,z?.于是
u?x,y,z???x00dx??y00.xdy??z0xydz ?xyz.
所以
??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz?u?6,1,1??u?1,2,3??0.
27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：
(1).?2x?3y?dx??3x?4y?dy?0;(2).?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?3y2?dy?0.
解：(1).?2x?3y?dx??3x?4y?dy?0; 这里，P?x,y??2x?3y,Q?x,y??3x?4y. 因为，
?PQ?y?3???x，所以方程是全微分方程.
故：u?x,y????x,y??0,0??2x?3y?dx??3x?4y?dy
??x0?2x?0?dx??y0?3x?4y?dy
?x2|x0??3xy?2y2?|y20?x?3xy?2y2.
因此，所求方程的通解为：x2?3xy?2y2?c.
(2).?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?3y2?dy?0.
这里，P?x,y??3x2?2xy?y2,Q?x,y???x2?2xy?3y2.. 因为，
?P?y??2x?2y??Q?x，所以方程是全微分方程.
故：u?x,y????x,y?2?2xy?y2?0,0??3x?dx??x2?2xy?3y2?dy
??x20?3x?0?dx?y0??x2?2xy?3y2?dy
?x3|x0???x2y?xy2?y3?|y3230?x?xy?xy2?y.
因此，所求方程的通解为：x3?x2y?xy2?y3?c..
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28（P238第6题）设函数u?u?x,y?在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）
2??R内连续可微分且gradu?K（常数）.证明：对于?内任意两点A,B，都
有
u?A??u?B??K.d?A,B?. 其中d?A,B?表示点A,B之间的距离.
证明：由于?为凸区域，故线段AB整个属于?.设点B的坐标为?x0,y0,z0?，点A的坐标为?x1,y1,z1?，且令?x?x1?x0,?y?y1?y0,?z?z1?z0. 考虑一元函数
f?t??u?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z? ?0?t?1?. （1） 显然， f?0??u?B?,f?1??u?A?. （2） 且f?t?在?0,1?上可微，并且
f??t??u?x?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?x ?u?y?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?y
?u?z?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?z （3） 于是，由微分学中值定理知
u?A??u?B??f?1??f?0??f???? ???3???u?x?x0???x,y0???y,z0???z?.?x ?u?y?x0???x,y0???y,z0???z?.?y ?u?z?x0???x,y0???y,z0???z?.?z
?gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA. （4） 由（4）式可知
u?A??u?B??gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA
?gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA?K.d?A,B?. 29（P238第7题）求向量场f?grad?arctan?
?y??沿下列曲线lx?的环量：
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（ⅰ）l为圆周?x?2?2??y?2?2?1；
l为圆周x2?y2?4（分为左、右半圆周分别计算）.
解： f?grad?arctan??y????y???y??????arctan?,?arctan?? x???x?x??y?x?? ???2?y2?x?y,?. 22?x?y?xydxx?y22 （ⅰ）
?lf.dr???l?xdyx?y22（格林公式）
???D?????x????x??y?2??? ?x?y2???y??x2?y2??dxdy??????y?x22 ???D?y2?x2?22??x?y??2?x?2?y2?2??dxdy?0. ??14 （ⅱ）?f.dr?l?xdy?ydxx?y2214l?lxdy?ydx??2.?2??2?.
230（P238第8题）求rotf,其中f??2z?3y,3x?z,y?2x?. 解：rotf??
???y?2x???3x?z???2z?3y???y?2x???3x?z???2z?3y?????,?,????2,4,6?.
?y?z?z?x?x?y????R??y??Q?P?R?Q?P?,?,?? ?z?z?x?x?y?31（P238第9题）证明： rotuf?urotf?gradu?f. 解：设f??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??，则
uf??uP?x,y,z?,u.Q?x,y,z?,uR?x,y,z??.
?? rotf?????uR???y???uQ???uP???uR???uQ???uP??,?,?? ?z?z?x?x?y??u???R?u???P?P?R?,?u???u?z???x?x???z??, ???R?u???Q?u??{?u?R?u?Q????y???z?z??y 30