周世国：曲线曲面积分部分难题解答
表示函数u?u?x,y?沿边界曲线l外法线方向的方向导数.
证明：设?为曲线l的正向的切线向量，其方向余弦为cos?,x、cos?,y，则 有
n,x??,y，n,y????,x. 故
cosn,x?cos?,y，cosn,y??cos?,x.
???????????????????????nl?uds???u?u?cos?,y?cos?,x?l??x?y????u?y?????ds（由两型曲线积分之间的联系）
???xl?udy?dx（格林公式）
???D?????x???u????u??????????dxdy
??x??y??y????dxdy??? ???D??2u?2u???x2??y2????udxdyD.
21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：
??D???u?2??u?2??????????dxdy????u?udxdy??x????y??D????ul?u?nds.
证明：仿上题 ?ul?u?nds???u?u?ucos?,y?cos?,x?l??x?y???????（由两型曲线积分之间的联系） ?ds
? ??ul?u?xdy?u?u?ydx（格林公式）
???D????u????u?????u?????u??dxdy ?x?x?y?y??????2???u?u?u????x.?x?u.?x2??2???u?u?u??????y.?y?u.?y2?? ???D????dxdy???
???D???u?2??u?2??????????dxdy??x?y??????????D??2u?2uu???x2??y2???dxdy ?? 21
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?移项，即得 ??D??D???u?2??u?2??????????dxdy??x?y??????????u?udxdyD
???u?2??u?2??????????dxdy????u?udxdy??x????y??D????ul?u?nds.
22（P227第8题）格林第二公式 若函数u?u?x,y?和v?v?x,y?都满足第6题中的假设，证明： 证明：我们有 ?vl??D?uu?vv?udxdy??v?ndsv?l?nu
?u?nds???u?u?vcos?,y?cos?,x?l??x?y??????? ?ds （由两型曲线积分之间的联系）
? ??vl?u?xdy?v?u?ydx（格林公式）
???D????u????u?????v?????v??dxdy ?x?x?y?y??????2???v?u?u????x.?x?v.?x2??2???v?u?u??????y.?y?v.?y2?? ???D????dxdy???
???D??u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????D???u?2??u?2??v????????dxdy ?x?y???????? ???D ??v?udxdy. （1）
D由轮换对称性，知 ?ul?v?nds ???D??u?v?u?v???.?.??dxdy???x?x?y?y???u?vdxdy. （2）
D于是
?u?v?nds?v?l?nu?v???uv?uds??l??n?n??
??????D
??u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????D?v?udxdy??
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??????D???u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y?????D?u?vdxdy?
????v?u?u?v?dxdyD??D?uu?vvdxdy.
23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 I?a,b???cosr,nrl??ds
其中l为简单（光滑）闭合曲线，r为不在l上的点?a,b?到l上动点?x,y?的向量，而n为l上动点?x,y?处的法向量.
解：设?为曲线l的正向的切线向量，其方向余弦为cos?,x、cos?,y，则 有
n,x??,y，n,y????,x. 又设n0?cosn,x,cosn,y ，r??x?a,y?b?，则
??????????0?????????x?a?.cosn,x??y?b?.cosn,yr.n0? cosr,n?cos?. ?r,n???22??0?x?a???y?b?r.n??????故
cosr,nr????x?a?.cos?n,x???y?b?.cos?n,y?.
?x?a?2??y?b?2I?a,b????x?a?ll12??y?b?122??x?a?.cos?n,x???y?b?cos?n,y??ds
2 ???x?a? ???y?b???x?a?.cos??,y???y?b?cos??,x??ds
2?x?a?dy?l?x?a?2??y?b?dx??y?b?y?b.
记 P?x,y????x?a?2??y?b?2,Q?x,y??x?a?x?a?2??y?b?2.
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则
?P?y??y?b?2??x?a?2??x?a?2??y?b?2?Q?x?,?Q?x?P?y??y?b?2??x?a?2?.它们在xoy平面内除点 22?x?a???y?b??a,b?外处处连续，且?0.
（一）若点?a,b?在l所包围的区域D外，原式=0；
（二）若点?a,b?在l所包围的区域D内，以点?a,b?为中心作一个充分小的圆
l?:?x?a???y?b???(??0).取逆时针方向，使之完全包含在l为边界的区域
222内.记介于l?和l之间的区域为D?. 则在D?由格林公式可得：
????x?a?lx?a?dy??y?b?dx2??y?b?2??x?a?dy?l?x?a?2???y?b?dx??y?b?2???Q?P??????x??y?dxdy?0.
?D??所以，
I??x?a?dy?l?x?a?21??y?b?dx??y?b?2???x?a?dy??y?b?dxl??2
???2??x?a?dy??y?b?dx（格林公式）
l?1?2??D????x?a???b?y??1?dxdy???2?y???x???D2dxdy?2?2.??2?2?.
24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz,其中l是曲线
l?x2?y2?1, ?
?x?y?z?2.方向为从oz轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式
dydzdzdxdxdy????xz?y?yx?z?zx?y .取??2dxdy为平面x?y?z?2上由椭圆所围成的那一
小块曲面.（取下侧），因此
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0n??1,?1,1?,n???31?,?,?.） 33??33 I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz????2dxdy??2??l??13dS
??2??Dxy13.3dxdy??2.??dxdy??2?.
Dxy解二：（直接计算）
I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz?l??2dxdy?其中，Dxy:x2?y2?1.
所以，I????2dxdy??2?..
Dxy25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势u:
?1?因为
f?2xcosy?ysinx,2ycosx?xsiny;?22?
解：（1）这里P?x,y??2xcosy?y2sinx，Q?x,y??2ycosx?x2siny.
?P?y??2xsiny?2ysinx??Q?x，?x,y??R2
所以f??2xcosy?y2sinx,2ycosx?x2siny?是定义在全平面上的保守场.所以，
?2xcosy?ysinxdx?2ycosx?xsinydy2??2?是某一个函数u?x,y?的全微分.
故可取
?2xcosu?x,y????0,0???x,y?y?ysinxdx?2ycosx?xsinydy2??2???2xcos0?002x2sinxdx?2???2ycosx?x0yy2sinydy2?
?x|?x0?ycosx?xcosy22?|0?x?2??y2cosx?xcosy?x?2?
?ycosx?xcosy.
2则，所求的位势为
u?x,y??c?y2cosx?x2cosy?c.
?2?f?2xe??y,cosz?xe2?y,?ysinz.?
2?y解：这里
P?x,y,z??2xe
?y,Q?x,y,z??cosz?xe,R?x,y,z???ysinz.
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