周世国：曲线曲面积分部分难题解答
?u???Q?x?Q?u???P?u????u?P???},?x???y?y?
??R?Q?P?R?Q?P??u??,?,???y?z?z?x?x?y?????u?u???u?u?????R?Q,?R?P??????y?z?x?z???????u?u?????P?Q?? ?x?y????urotf?gradu?f.
31（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：
（ⅰ）??xdydz?ydzdx?zdxdy，沿球面?x?a?2??y?b?2??z?c?2?R2外侧；
S（ⅱ）??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，沿正方体?0?x?1,0?y?1,0?z?1?的外表
S面；
（ⅲ）??x2cos?n,x??y2cos?n,y??z2cos?n,z?dS，沿锥面SS???x?y22?z?h?的下
侧；
（ⅳ）??z3dxdy,沿上半球面z?Sa?x?y222的上侧.
解：
（ⅰ）??xdydz?ydzdx?zdxdy（奥-高公式）
S ????????x???y???z??????dv??y?z???x????3dv?3.43?R?4?R.
33（ⅱ）??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy（奥-高公式）
S33??x3?y?z???z ??????dxdyd ?x?y?z?????2??2????????103x?y?z1122?dxdydz?9???zdxdydz
?2?9?dx?dy?zdz?9?1?1?0013?3.
（ⅲ）若取S1:z?h（上侧）.则S与S1一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的
空间闭区域为?.在?上利用奥-高公式，便得：
???xS?S12cosn,x?ycosn,y?zcosn,zdS
??2??2???31
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???xS?S12dydz?ydzdx?zdxdy22
（奥-高公式）
22??x2?y?z? ???????z?dxdyd
?x?y?z?????????????2?x??y?z?dxdydz?h????2?02zdxdydz（???xdxdydz??????ydxdydz ?0）
?2?2?0d??rdr0h2?2hrzdz?2?h4d??h0r12?h2?r2?dr
?2??r?h?r?dr?02?.
所以
???xS2cosn,x?ycosn,y?zcosn,zdS2????S12??22???
?h2h2?? xdydz?ydzdx?zdxdy222 ?2????hDxydxdy??h22??h.?h?22h22?.
（ⅳ）??z3dxdy,沿上半球面z?Sa?x?y222的上侧.
若取S1:z?0（下侧）.则S与S1一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭
区域为?.在?上利用奥—高公式，便得： 3z??dxdydz
S?S1 （奥-高公式） ?????0?z3?z?dxdydz????3z?a02dxdyd z?3?2?d?d??20sin?d??2??cos??2?2d?
a40?3?2??0?20cos?.sin?d???d?
??1?152?53?6?.??cos?|2?.a?a.
0355??所以
??Szdxdy ?32?5a?5??S1zdxdydz3
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? ?a????5?2?5?2?5???0dxdydz??5a. Dxy?332（P246第2题）设S为光滑封闭曲面，c为常向量.证明：
?n,c?dS??cosS?0.
n?n?P?为S上点P处的单位外法向量
证明：设n??cos?,cos?,cos??,c??c1,c2,c3?.
cosn,c???n.cn.c?c1.cos??c2cos??c3cos?c1?c2?c3222
??Scosn,cdS???1c1?c2?c3222??cdydz1S?c2dzdx?c3dxdy
（奥-高公式）?0.
33（P246第3题）证明等式
????dxdydzr?12?r,n?dS. ??cosS其中S为包围空间有界区域??R3的光滑封闭曲面，n为曲面S上动点P?x,y,z?处的单位外法向量，r为连接定点M0?a,b,c?M0?S??与动点P处的向量
M0P,r?r.
证明：设n??cos?,cos?,cos??,r??x?a,y?b,z?c?.
cosr,n???r.nr.n??x?a?.cos???y?b?cos???z?c?cos?2?x?a???y?b???z?c?22
1??2Scosr,ndS???1??2S?x?a?dydz??y?b?dzdx??z?c?dxdy2?x?a???y?b???z?c?22
记
P?x?a?x?a??x?a?2??y?b???z?c?22，Q?y?b?x?a?2??y?b???z?c?22,
R?z?c2??y?b???z?c?22.
则
33
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?P?x?R?z??y?b?2??z?c?22??x?a???x?a???Q?y2??y?b???z?c???y?b?222??32;?Q?y??x?a?2??z?c?22??x?a?2??y?b???z?c?2?32;
??x?a?2232.
??y?b???z?c?2 所以
?P?x??R?z?2?x?a???y?b???z?c?22?232?
?2r.
??x?a??2??y?b???z?c?22?2?x?a?2??y?b???z?c?22故由奥—高公式，得
1??2Scosr,ndS?????????P?Q?R???????dxdydz?y?z???x?????dxdydzr.
33（P247第4题）计算高斯积分 I?a,b,c????Scosr,nr2??dS.
其中S为光滑封闭曲面，n为S上动点P?x,y,z?处的外法向量，点?a,b,c??S，r为连接点?a,b,c?与动点?x,y,z?处的向量，r?r. 证明：设n??cos?,cos?,cos??,r??x?a,y?b,z?c?.
cosr,n???r.nr.n??x?a?.cos???y?b?cos???z?c?cos?2?x?a????y?b???z?c?22
??Scosr,nr2??dS??S?x?a?dydz?????y?b?dzdx??z?c?dxdy??y?b???z?c????23
?x?a?2 记
P????x?a3，
?x?a?2??y?b???z?c????22Q????y?b?x?a?2??y?b???z?c????223,
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R????z?c?x?a?2??y?b???z?c????223.
则
?P?x????13????3?x?a?25；
?x?a?222??y?b???z?c?????x?a?222??y?b???z?c?????Q?y????1?x?a?2??y?b???z?c????223????3?y?b?25；
?x?a?222??y?b???z?c????
?R?z????1?x?a?222??y?b???z?c????3????3?z?c?25.
?x?a?222??y?b???z?c????记S所围成的区域为?.
（1）当曲面S不包围定点?a,b,c?时，则
?P?x??Q?y??R?z?0.
故由奥—高公式，有 I?a,b,c??故由奥—高公式，得
??Scosr,nr2??dS???P?Q?R????z0. ?????x?y?z??dxdyd??????Scosr,ndS???????dxdydzr.
（2）当曲面S包围定点?a,b,c?时，则我们以点?a,b,c?为中心，以?为半径作一球??包围在曲面S内，此球面记以S?（取外侧）.将奥—高公式用于????上，则有
??Scosr,nr2??dS???S?cosr,nr2??dS??????????P?Q?R???????dxdydz?0. ?x?y?z??故
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