第1章 矢量分析
例1.1 求标量场??(x?y)2?z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M的坐标是x0?1,y0?0,z0?1，则该点的标量场值为
??(x0?y0)2?z0?0。其等值面方程为 ：
??(x?y)2?z?0 或 z?(x?y)2
??2?2?例1.2 求矢量场A?axxy?ayxy?azzy2的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：
dy?dx???xy2x2y从而有 ?
dxdz?2?2?yz?xy?z?c1x解之即得矢量方程?2，c1和c2是积分常数。 2?x?y?c2dxdydz ??222xyxyyz
例1.3 求函数??xy2?z2?xyz在点（1，1，2）处沿方向角
?? 解：由于
???x?3,???4,???3的方向导数。
??1,
M?(1,1,2)?y2?yzM?(1,1,2)
???y???zM?(1,1,2)?2xy?xz?2z?xyM?(1,1,2)?0,
M?(1,1,2)M?(1,1,2)?3,
cos??所以
1
121,cos??,cos?? 222
???lM???????cos??cos??cos??1 ?x?y?z例1.4 求函数??xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向导数。
解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为
???????l?ax(9?5)?ay(4?1)?az(19?2)?ax4?ay3?az17
其单位矢量
??????l?axcos??aycos??azcos??ax???x???y43??7 ?ay?az314314314???z?xy(5,1,2)?5
(5,1,2)?yz(5,1,2)?2,(5,1,2)?xz(5,1,2)?10,(5,1,2)所求方向导数
???lM????????123 cos??cos??cos?????l???x?y?z314
例1.5 已知??x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z，求在点(0,0,0)和点(1,1,1) 处的梯度。
???解：由于???ax(2x?y?3)?ay(4y?x?2)?az(6z?6) 所以 ??
例1.6 运用散度定理计算下列积分：
????I??[axxz2?ay(x2y?z3)?az(2xy?y2z)]?dS
S(0,0,0)????ax3?ay?2?az6 ，??(1,1,1)???ax6?ay3
a2?x2?y2S是z?0和z?所围成的半球区域的外表面。
2??2?2?解：设：A?axxz?ay(xy?z3)?az(2xy?y2z)
???则由散度定理???Ad???A?dS
?s可得
2
???I??A?dS????Ad???(z2?x2?y2)d???r2d?s?????2??02???20a0r4sin?drd?d?a?0
??d??2sin?d??r4dr002??a55
??例1.7 试求??A和??A:
??23?3?22(1) A?axxyz?ayxz?azxy ???(2) A(r,?,z)?arr2cos??azr2sin?
???1?1(3) A(r,?,?)?arrsin??a?sin??a?2cos?
rr解：
(1)??Ax?Ay?Az??A????y2z3?0?0?y2z3
?x?y?z??????axayazaxayaz?????????A???x?y?z?x?y?z
23322AxAyAzxyzxzxy????ax(2x2y?x3)?ay(3xy2z2?2xy2)?az(3x2z?2xyz3)(2)?1?1?A??Az1?3???A?(rAr)???(rcos?)?0?(r2sin?)?3rcos?
r?rr???zr?r?z?ar?1???A?r?rAr?ra????rA???azar?1???zr?rAzr2cos??ra????0?az??zr2sin?
1????[ar(r2cos??0)?ra?(0?2rsin?)?az(0?r2sin?)] r????arrcos??a?2rsin??azrsin?]3
(3)?1?2?A1?1??A?2(rAr)?(sin??)?r?rrsin?????rsin?1?31?121?2(rsin?)?(sin?)?r?rrsin???rrsin?2?3sin??2cos?r?ar?1???A?2rsin??rAr??ra????rA??rsin?a??1?2??rsin?rsin?A??ar??rrsin??A????1(cos?) ??r2?ra????sin??rsin?a????1sin?cos?r11?1??[a(cos2??0)?ra(0?sin2?)?rsin?ar??(0?rcos?)] 22rsin?r2r?cos2??1??ar3?a?3cos??a?cos?rsin?r
例1.8 在球坐标中，已知??pecos?，其中pe、?0为常数，试求此标量场的负24??0r?梯度构成的矢量场，即E????。
1??????1????a??a?解：?在球坐标戏中，???ar ?rr??rsin?????1?pecos???pecos??1?pecos??E??????ar()?a()?a()??222?r4??0rr??4??0rrsin???4??0r?pcos??1pe(?sin?)??are(?2)?a?0?r4??0r24??0r3?pcos??pesin??are?a?32??0r4??0r3?pe4??0r3??(ar2cos??a?sin?)
??2?例1.9 在由r?5，z?0和z?4围成的圆柱形区域上，对矢量A?arr?az2z验证高斯散度定理。
?解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算???Ad?和
?4
??A??dS，得到二者结果相同的结论。
s在柱坐标系下，有
?1?1?A??Az1?3???A?(rAr)???(r)?0?(2r)?3r?2
r?rr???zr?r?z在由r?5，z?0和z?4围成的圆柱形区域内取一个小体积元d?，可知
d??rdrd?dz，其中0?r?5、0???2?、0?z?4，故
?52?452?4??Ad??(3r?2)rdrd?dz?(3r?2)rdrd????????dz?150?2??4?1200?
?000000而r?5，z?0和z?4围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱
??上表面S1（面元矢量dS1?azrdrd?，0?r?5、0???2?、z?4）、圆柱下表
??面S2（面元矢量dS2??azrdrd?，0?r?5、0???2?、z?0）和圆柱侧表面
??，故有： S3（面元矢量dS3?arrd?dz，0???2?、0?z?4、r?5）
?????????A?dS??A?dS1??A?dS2??A?dS3SS1S2S3??50??2?0???(arr2?az2z)?azrdrd?2?z?4??50?2?0???(arr2?az2z)?(?azrdrd?)z?0
????5040?0???(arr2?az2z)?arrd?dzr?52?0
2?08rdrd??0???40125d?dz?4?25?2??125?2??4?1200????????Ad???A?dS?1200?，即证。
?s
???例1.10 现有三个矢量场A、B、C,分别为：
????A?arsin?cos??a?cos?cos??a?sin?，??2??B?arzsin??a?z2cos??az2rzsin?，
????C?ax(3y2?2x)?ayx2?az2z。
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？
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