解：由电荷的电荷强度计算公式
?E(r)?14??0s??s(r)(r?r')??3r?r'??dS
及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。
??r?zax 代入场点源点
???r'?axr'cos??ayr'sin?
dS?r'dr'd?
电场的z向分量为
??s02?azr'dr'?s0?zEz?d??2?1?2?23/221/2? 4??0?2?0(z?r')?(a?z)?00上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为
Ez??
z?s0[1?2] 21/22?0(a?z)例2.9 已知半径为a的球内,外电场分布为
??a?2??E0??ar??r?E??2??r???ar?E0???a?r?a
r?a求电荷密度。
解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式:
? ??D??
用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出
r?a时:???0
r?a时:1r21???02r3E0?2r?r??ra
?2r?r?0?r????
3ql2例2.10 电荷分布如图2.5所示。试证明，在r>>l处的电场为Er? 42??0r11
证明：
用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有Er?当r>>l时,
11?(r?l)2r211ll2?(1?2?32??) l2r2rr(1?)r11ll2?(1?2?32??) l2r2rr(1?)r14??0[q2qq??]
(r?l)2r2(r?l)211?(r?l)2r23ql2将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出Er? 42??0r
图2.5
例2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷?q位于原点，另一个电荷q/2位于
(a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。
解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为
?q4??0rq24??0r1??0
其中
r?(x?y?z)， r1?[(x?a)?y?z]
等位面方程简化为
22212221222r1?r
12
即
4[(x?a)2?y2?z2]?x2?y2?z2
此方程可以改写为
4a???2a?22x??y?z?????
3???3?这是球心在(
例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。
4a2a,0,0),半径为的球面。 3322
图2.6
??解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，P?P0ax如图
示，由于均匀极化，束缚体电荷为
??????P?0。
?在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向n?ar，极化强度在z方向，故
????P?ar?0
?在顶面，外法向为n?ax，故
???sp?P?ax?P0
?在底面，外法向为n??ax，故
???sp?P?(?ax)??P0
13
例2.13 假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为3?0，
?????如果空气中的电场强度E1?ax?4ay?5az（V/m），求电介质中的电场强度E2。
解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连
续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量??????可以得出介质中电场强度的切向分量E2t?4ay?5ax；对于法向分E1t?4ay?5ax，
量，用D1n?D2n，即 ?0E1x??E2x，并注意E1x?3,??3?0，得出E2x?1。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为
????E2?ax?4ay?5az(V/m)
例2.14 一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q，求任意点的电位。
解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由
??2D?dS?4?rDr?q得出Dr??sq 4?r2电场为：Er??qqEr? 在介质中（a rb4??0r2r4??r24??0b4??rb??qqdr? ???Edr?? (r>b) rr4??0r24??0r电位为 ???Edr??qdr??b 例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a,试计算两个导体之间的电容。 解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得 p12?p22?14??0a， p12?p21?14??0d 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q，则 14 ?1?p11q?p12q?q4??0a?q4??0d， ?2?p21q?p22q?q4??0d?q4??0a 由C?qq ?U?1??22??0ad d?a化简得C? 例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为?，当外加电压为U0时，计算功率损耗并求电阻。 解：设内,外极板之间的总电流为I0，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 ?I?ar J?2?r?I?ar E?4??r2 U0=?Edr= ba?11???? 4???ab?I??U0?4??U0a 从而 I=，J?112r11(?)r?abab????J2U0? 单位体积内功率损耗为 p==??11?????r2??????ab???总功率耗损为 P=?p4?rdr= ab224??U0?11?????ab?22?badr4??U02= 211r?abU02由P=，得 R R= 15 ?11???? 4???ab?I