例2.17 一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为?。略去地面的影响，求电极的接地电阻。
解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I,则任意点的电流密度为
??I?I?aE?ar J?，r4?r24??r2导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）
U=?接地电阻为
R=
例2.18 如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d1和d2，介电常数分别为?1和?2，电导率分别为?1和?2，当外加电压U0时，求分界面上的自由电荷面密度。
解：设电容器极板之间的电流密度为J，则
??? J??1E1??2E2
UI= I4??a?I4??2adr=
I4??a
????JJ E1?,E2?
?1?2于是
U0?即
J?Jd1?1?Jd2?2
U0d1?1?d2
?2分界面上的自由面电荷密度为
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??2?1???2?1?U0?? ?s?D2n?D1n??2E2??1E1????J??????dd????1?1?1?2?2?2?1?2d1 ?1,?1 U0
d2 ?2,?2
图2.7
???例2.19 在电场强度E?axy?ayx的电场中把带电量为?2q(C)的点电荷从点
(2,1,?1)移到点(8,2,?1)，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。
(1)沿曲线x?2y2；(2)沿连接该两点的直线。
解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力×作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C
????上进行线积分，即W??F?dl???2qE?dl。但注意到题目给出的场强为静电场
CC的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。
?方法一：???E?0，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。
???由E?????axy?ayx可得，电位?(x,y,z)??xy?C，其中C为常数。 点(2,1,?1)到点(8,2,?1)之间的电位差U??(2,1,?1)??(8,2,?1)?14 故无论是沿曲线x?2y2还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷?2q(C)所做的功W??2qU??28q(J)。
????方法二：电场力F??2qE?ax(?2qy)?ay(?2qx)，
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点(2,1,?1)移到点(8,2,?1)变化的只是x和y，
?????故有dl?axdx?aydy，F?dl??2qydx?2qxdy
(1)曲线C：x?2y2 有dx?4ydy
??22?W??F?dl??(?2qy?4ydy?2qdy?2y2)???12qy2dy??28q(J)
C11y?11?，即x?6y?4，有dx?6dy x?26??22?W??F?dl??[?2qy?6dy?2qdy?(6y?4)]??(?24qy?8q)dy??28q(J)
(2)曲线C：
C11
例2.20 球形电容器内外导体球半径分别为a和b，如果保持内外导体间电位差U不变，试证明当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度。
解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系。
由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为r?a，外导体球面为r?b。
在a?r?b的区间包围原点做一个半径为r的闭合球面S，由于电荷和电场的分布满足球对称，在S上应用高斯定理，有
???2?Q22E?dS?E?rsin?d?d??4?rE?rr???S00?0
?Er?Q4??0r2??,E?arQ4??0r2
设外导体电位为0，则内导体电位为U，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为：
?b?bU??E?dl??aaQ4??0r2?dr?11Qb?a(?)? 4??0ab4??0abQ??abU4??0ab(a?r?b) U，E?ar故可反解出Q?b?ar2b?a18
在内导体球表面r?a，有Er?bU?Er(a,b)
ab?a2??Er?ErbU(2a?b)??0，即b?2a?0，a?b/2时有Er的最值。 ，?22?a?a(ab?a)?Er?E?0；a?b/2时，r?0；故a?b/2时Er有最小值。 ?a?a又a?b/2时，
?当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。 ??2U?4U?ar此最小值为Emin?ar。 ab
例2.21 电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分布为：
?1??E0rcos???2????03cos?aE02,r?a
??2?0rr?a
?3?0E0rcos?,??2?0验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向
???ar，切向则为a?和a?方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面r?a上??也可以直接根据电位的边界条件，在r?a的分界面上，得到?1??2的E1t?E2t；
结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据?ps1）验证边界条件：
方法一：直接利用电位的边界条件，有：
???P?n来计算。
r?a时，?1??E0acos?????0?3?0aE0cos??E0rcos???2
??2?0??2?0??1??2，边界条件成立。
方法二：??E????
??E1????1 ???032cos????03sin????ar(E0cos??aE0)?a?(?E0sin??aE03),r?a??2?0??2?0r3r19
?E2????2?3?0??(arE0cos??a?E0sin?),r?a
??2?0??分界面r?a上，n?ar
?????0???3?0?E1t?a?(?E0sin??E0sin?)?a?E0sin??E2t
??2?0??2?0???E1t?E2t，边界条件成立。
2）计算球表面的束缚电荷密度： 由上面可得
????032cos????03sin???E1?ar(E0cos??aE0)?a(?Esin??aE03),r?a ?03??2?0??2?0rr?E2?3?0??(arE0cos??a?E0sin?),??2?0r?a
???????D??0E?P??E ?P?(???0)E
?????02a3???0a3??P)E0cos??a?(?1?)E0sin?],r?a1?(???0)E1?(???0)[ar(1?33??2?0r??2?0r??P2?(?0??0)E2?0,
r?a
例2.22 有一半径为a，带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为?1和?2，分界面可视为无限大的平面，求： (1)球的电容量；(2)储存的总静电能。
解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由C?Q?求出，其中Q为导体球所带电荷量，即q；?为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。
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