?????(??1)I?JmS?M?n?M?ar??raz
2?b
例4.6 已知在半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流I沿轴方向。设导体的磁导率为?1，其外充满磁导率为?2的均匀磁介质，求导体内外的磁场强度、磁感应强度、磁化电流分布。
解：考虑到问题的对称性，在导体内外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作为安培回路，并注意电流在导体内是均匀分布的。可以求出磁场强度如下：
??Ir??Ir?a时， H?a?； r>a时， H?a?
2?r2?a2磁感应强度如下：
???Ir???Ir?a时， B?a?12； r>a时，B?a?2
2?r2?a为了计算磁化电流，要求磁化强度：
?????IrI??1r?a时，M?a?(1?1)， J???M??a(?1)mz22?0?02?a?a???2??I，Jm???M?0 r>a时， M?a?(?1)?02?r在r?a的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即
?????Jms?M1?n1?M2?n2
??这里的n1和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向。
?如果设从介质1到介质2的单位法向是n，则有
?????Jms?M1?n?M2?n
??代入界面两侧的磁化强度，并注意n?ar，得
??III?????? Jms??az(1?1)?az(2?1)?az(2?1)?02?a?02?a?0?02?a
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例4.7 空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的半径为b，通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。
解： 设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。
??Ir??I； a?r?b时， H?a? r?a时， H?a?2?r2?a2单位长度的磁场能量为
Wm=?a0b1?0I2?0I2b122ln +?0H2?rdr+?a?0H2?rdr=
2216?4?a故得单位长度的自感为 L=
?0?0bln，其中的第一项是内导体的内自感。 +
8?2?a例4.8 一个长直导线和一个圆环（半径为a）在同一平面内，圆心与导线的距离是d，证明它们之间互感为M??0(d?d2?a2)。
证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场B?其中各量的含义如图4.4所示。
磁通量为???Bds??a?0I?0I ?2?x2?(d?rcos?)0?2??0I2?(d?rcos?)0rdrd?
上式先对?积分，并用公式 得
???0I?a?2?0d?2? ?22d?aco?sd?ardrd2?r20??0I(d?d2?a2)
所以互感为 M??0(d?d2?a2)
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I r ? d
图4.4
例4.9 一根通有电流I的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中。
???(1)求出H，B，M及磁化电流分布；
(2)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在z?0的半无穷空
???间中充满导磁率为?的均匀介质，在z?0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流分布；
(3)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在x?0的半无穷空
???间中充满导磁率为?的均匀介质，在x?0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流分布。
解：(1)由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线，有：
??H??dl?H??2?r?I
C?H???????I????(?r?1)I??B?故：B??H?a?，M?，Jm???M?0。 ?H?(?1)H?a?2?r?0?02?r(2)如图4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：
???H?dl?H??2?r?I
C??IH，即?a?
2?r2?rI28
??I?H??，即H?a?，则有：
2?r2?r?????I???(?r?1)IB1??z?0:B1??H?a?，M1?， ?H?(?1)H?a?2?r?0?02?rI????????(??1)I； Jm???M?0，Jms?M?n?M?ar??azr2?r????0I???z?0:B2??0H?a?，M2?0，Jm?0，Jms?0。
2?r(3)如图4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：
???H?dl?H1???r?H2???r?I
C?对于分界面，x?0处a?为法向，根据边界条件B1n?B2n， 有B1??B2??B?，即：H1??B??，H2??B??0
代入安培环路定律，有
B????r?B??0??r?I，解得B????0I
???0?r??????0I???B?IB??I0，H1??a?，H2? ?B?a??a????0?r????0?r?0???0?r????B????0Ix?0：M1?， ?H1?(?r?1)H1?a??0???0?r???????Jm???M?0，Jms?M?n?M?a??0；
?????Bx?0：M2??H2?0，Jm?0，Jms?0。
?0
图4.5(a) 图4.5(b)
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例4.10 半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I。如图4.6所示，取图中??2?处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。
图4.6
解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是r方向的射线，所以?m应该与r和z无关，拉普拉斯方程应该是：
1?2?m??m?2?0 2r??2解出来?m?C??D
代入已知条件????2?为参考点，有?m?2?C?D
再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路l，起点A和终点B在
???2?的两侧，由于H????m，比照静电场中电场强度和电位之间的关系，
有?mA??mB??BA??H?dl?I，?mA?0，?mB?2?C?D，则2?C?D??I
这样始终有两个未知量不能确定。
于是又考虑??2?和??0是同一点，那么参考点也可以看作是??2?，代入?m?C??D中，??2?时?m?D?0，故?m?C?，这就只有一个未知量了。
再做参考积分回路，则?mA??mB?0?2?C??BA??H?dl?I
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