解得C??II，故?m?C???? 2?2?
例4.11 一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度??1mm，铁心内半径a?8cm，横截面边长b?2cm，相对磁导率?r?500。铁心上均有紧密绕有线圈1000匝，如图4.6所示。忽略气隙附近的漏磁通，求此线圈的自感。
图4.6
解：由于????0，忽略气隙附近的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感应线只在磁环内流动，且垂直磁环截面，磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。
???设磁环上磁感应强度为B?，磁场强度为H?；气隙中磁感应强度为B0，磁?场强度为H0，由安培环路定律有：
??br?a??9cm H?dl?H?(2?r??)?H???NI，其中??0??C2?对于空气与铁心的分界面，a?为法向，根据边界条件B1n?B2n，有
B1??B2??B?，可得H???B?B?B??，H0??B??0
NI2?r??故有
??(2?r??)??0???NI，解得B??????0
?通过铁心截面的磁通量???B??dS??B??S??SNI2?r??????0?b2
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?Nb2 线圈的自感L??
2?r???I???0代入数据??10?3m，b?0.02m，r?0.09m??500?0，N?1000，得
?Nb2L???200?0?0.251(mH)
2?r???I32
???0
第5章 时变电磁场
例5.1 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
??解： 将J??E代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 ????????(?E)???(??E)??0
?t?t???由于：??D??,??(?E)??,???E??
??t???????0，?(t)??0e? 所以：
?t??
例5.2 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想导体，分界
??面处的磁场强度为H(x,y,0,t)?axH0sinaxcos(?t?ay)，试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。?
??????解：JS?n?H?az?axH0sinaxcos(?t?ay)?ayH0sinaxcos(?t?ay)
???S??[H0sinaxcos(?t?ay)]?aH0sinaxsin(?t?ay)?t?y
aH0?S?sinaxcos(?t?ay)?c(x,y)????假设t=0 时，?s?0，由边界条件n?D??s以及n的方向可得
??aH0D(x,y,0,t)?azsinaxcos(?t?ay)
???aH0E(x,y,0,t)?azsinaxcos(?t?ay)
?
例5.3 试求一段半径为b，电导率为?，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。?
33
图5.1
解：如图5.1，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有：
???1?J?IJ?az2,E??az2
??b?b???I在导线表面H?a?
2?b????因此，导线表面的坡印廷矢量 S?E?H??arI22??b23
它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有
?????I2?l?2?2???S?dS???S?ardS??2?bl?I?IR ??2?2??2b3?SS???b???
例5.4 在两导体平板（z?0和z?d）之间的空气中传播的电磁波，其电场强度
??矢量E?ayE0sin[(?/d)z]cos(?t?kx)，其中kx为常数。试求：
?H(1) 磁场强度矢量；
?(2) 两导体表面上的面电流密度Js。
解:
????(1) 由麦克斯韦方程组得??E??ax(?Ey/?z)?az(?Ey/?x)???B/?t，
??E0????Ekcos(z)sin(?t?kxx)?az0xsin(z)cos(?t?kxx)，对上式积分得B?ax ?dd?d??E0????Ek即H?axcos(z)sin(?t?kxx)?az0xsin(z)cos(?t?kxx)。
?d?0d??0d34
(2) 导体表面上得电流存在于两导体相向的一面，
?????故z?0面上，法线n?az，面电流密度Js?az?H?????z?d面上，法线n??az，面电流密度Js??az?Hz?0?E? ?ay0sin(?t?kxx)；
?d?0?E? ?ay0sin(?t?kxx)。
?d?0z?d
例5.5 一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a，外导体半径为b，长度为L，同轴线两端用理想导体板短路。已知在a?r?b,0?z?L区域内的电磁场
??A??B为E?arsinkz,H?a?coskz
rr（1） 确定A,B之间的关系。 （2） 确定k。
?（3） 求r?a及r?b面上的?s,Js。
解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。 （1）A,B之间的关系。
???Er?Ak??a?coskz??j??H 因为??E?a??zr所以 （2）因为
A?j??? Bk?1???rH?????rH???Bk??az]?arsinkz?j??E ??H?[?arr?z?rr所以
Ak? Bj??
?j??k? ，k???? kj??（3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为
????? n?H?Js ，n?D??s
??在r?a的导体面上，法线n?ar，所以
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