这是一个指派问题：max??WijPij
i?1i?1mn
如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。
控制仪器的购买算例
首先，将决策矩阵转化为序数形式。
名 属 性 次 f1（可靠性） X1 X2 X3 X4 f2（成本） X3 X2 X1 X4 f3（外观） X1 X2 X3 X4 f4（重量） X2 X3 X1 X4 一 二 三 四
确定各个目标的权重。仍用模型加行加权模型的结果，即
W?(0.57140.24460.12230.1157)T
X1?0.639700.36300??X2?0.11570.883400? 计算权矩阵W??X3?0.24460.11570.63970???X4?0001? 第一 第二 第三 第四
所以最优的排序结果为X1?X2?X3?X4，此时对应的指派问题的解为
P11?P22?P33?P44?1，其余Pij?0
4 层次分析法
层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即AHP） 是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数字化，保持决策者思维的一致，采用先分解后综合的解题思想。
层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进.
AHP模型的简介
运用AHP方法进行决策时，大体上可分为4个步骤： １．分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递进层次结构 ２．对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。
３． 判断矩阵计算得到被比较元素对于准则的相对权重 ４．计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 具体操作如下：
1. 递进层次结构的建立
AHP的递进层次包括三层：即目标层、准则层、方案层。其中准则层包括了为实现目标所涉及的中间环节，该层可根据实际问题再包括多个子准则层。AHP 层次结构如图1：
决策目标
准则 1 准则2 …… 准则M1
子准则1 子准则2 …… 子准则M2
方案1 方案2 …… 方案N 2. 构造两两比较判断矩阵
对于一个准则P的因素有N个，这N个因素之间相对重要性的比较得判断矩阵记为A?(aij)n?n，其中aij表示因素ui对uj的重要性； 3. 单一准则下元素相对权重的计算及判断矩阵的一致性检验 （１）设n个因素u1,......un相对于准则P及判断矩阵为A?(aij)n?n,由A可计算u1,......un对P的相对权重w1,......wn方法如下：
和法 ：
1naij wi??n i?1,2,3......n (1)
nj?1?akjk?1根法：
?n?
a??ij?j?1? i?1,2,3. wi??n. . . (2) 1n?n?n??akj??k?1?j?1?
1
n
特征根法：
由(???A)?0,可计算得最大特殊根?max，则
?maxW?AW (3)
W是 ?max 对应的特征向量，将W的各分量进行归一化处理后即可
作为数向量w1,......,wn 最小二乘法：
设权重向量W?(w1,......wn)T则满足残差平方和最小的权向量
min???aijwj?wi? (4)
i?1j?1nn2其中权向量满足?wi?1
i?1n具体计算时可采用拉格朗日的条件极值求得各wi （２）判断矩阵的一致性检验 计算一致性指标：
CI??max?nn?1 (5)
查找相应的平均一致性指标RI：
表1：1-15阶正相反矩阵计算1000次得到的RI
n 1 2 3 RI4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 计算一致性比例CR：
CR?CI (6) RI如CR＜0.1，则认为A的一致性问题可接受，否则需对A作适当的修正。
4. 计算合成权重，并进行排序
总排序权重要自上而下的将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。
k?1设 wk?1??w1k?1,.....wnk?1? 表示第K?1层上nk?1元素相对于总目的排序
t的权重向量。用 p??p,......pkjk1jknkj?表示第K层上n个元素对第K?1tk上第j个元素为准则的排序权重向量，其中不受j元素的支配的元
k素权重取为零，矩阵pk??p1k,......pnk?1?是阶nk?nk?1阶矩阵 ，它表示
第K层元素对K?1层上各元素的排序，则第K层上元素对目标的总排序
k wk??w1k,......wnk??pkwk?1
tkk?1或w??pijwj i?1,2,3......n
kij?1nk?1kkk?12w?pp......w即有公式：
其中 w2是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。相应的各层的一致性检验：
K?1层上元素为准则的一致性指标，平均一致性指标为 论 CIkj为
kK层的综合指标 RIkj，一致性比例为 CRj j?1,2,3......nk?1，则kk?1 CIk??CI1k,......CInk ?1?wkk?1RIk??RI1k,......RInk ?1?w