给定序列?xn?,我们有没有办法去判断它有极限还是没有极限.极限定义也可以说是判断有没有极限的一种方法.但用定义判断极限存在需要知道极限值,而困难就在于此.如果序列是单调的,比如它是单调增加的,那么序列有没有极限问题就转换成了序列有没有上界的问题.这种情况下判断有没有极限问题是解决了.若是任意序列,只要序列给定,它有没有极限应是客观存在的事实,为了更好地去判断它,我们引入了序列极限的柯西收敛原理.相应的我们还能得出函数的柯西收敛原理.简单地,函数和序列的柯西收敛原理就构成了实数的完备性.
数学分析的主要研究对象是连续函数,因此熟悉连续函数的基本性质有着十分重要的意义.我们在熟悉连续函数三个基本性质的基础上,指出它们的相关意义,作为实数连通性[1]、紧性定理[1]应用,我们用此可以来证明函数的三个性质（中间值定理、有界定理、最值定理）,至此,我们还可以得到一致连续性定理.
在本论文中我们证明了实数连续性的七个等价命题.给出如果把其中一个定理当作公理,其他定理也均可由这一公理及其其他的公理证明.其直接证明方法就是运用每个命题来直接证明其他六个等价命题,而不是用其他命题作为过渡.利用这种证明方法,能够深刻理解每一个命题如何从不同角度来刻画实数连续性及完备性的,促使实数连续性命题的结构和逻辑关系框架进一步清楚.
极限理论问题首先是极限存在问题.给出已知数列能否判断其是否存在极限,不只是与数列本身结构相关,还与数列本身所在的数集有关系.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列
1??1???n??n就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.因为实数集合有关极限运算是
完全封闭的,这是实数集有别于有理数集的特别特征.因而,我们把极限理论基于实数集性质的基础之上,就能使得极限理论具备了牢固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.
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第一章 实数连续性相关概念及定理证明
1.1实数空间
1.1.1实数的定义与性质
实数的构成
??有理数（有限小数和无实数??无理数（无限不循环小?限循环小数；或数）qp,p,q为整数且p?0)
其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.在数学上,直观的把实数定义为与数轴上的点具有一一对应关系的数.在数学发展的历史上实数起先把实数仅称作数,再后来随着发展才引入虚数概念.实数可以用来测量连续的量.实际生活中,我们经常把实数近似成一个有限小数,也就是保留小数点后n位,其中n为正整数.在计算机的运用中,是因为计算机只能存储有限位数的小数,实数常常用浮点数来表示.而在理论上看来,任何实数是都能够利用无限小数方式表示的,小数点的右边是一个无穷的数列,并且该小数可以是非循环的,当然也允许是循环的.
实数的性质
? 封闭性:（实数集R对?,?,?,?）四则运算是封闭的.即任意两个实数的
和、差、积、商（除数不为0）仍是实数. ? 有序性:任取一对实数
个:a?b,a?b,a?ba,b一定具有以下关系中的一
.
.
使得na?b? 传递性:a?b,b?c?a?c? 阿基米德性[14]:?a,b?R,b?a?0??n?N.
? 稠密性:两个不等的实数之间总有另一个实数.
实数集合R和规定了单位长度、原点、正方向的直线实数轴上的点一一对应.
1.1.2实数的定义与性质
如果实数域R存在,它应当是由所有有理数基本列组成的序域. 事实上,设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛an｝的极限.则存在k使 ak?a?1,从而 a?1?ak?N,
.
1
1?akn?a 是有理数,有理数域是阿基米德序域,故存在n?N,使n?1?ak.故有
.
因此,R是阿基米德序域.
若R1,R2是两个实数域,则它们的元素都是有理数基本列的极限. 映射
f:R1?R2,若liman?af(a)?a',其中a?R,?an?是有理数的基本列,?an?在R2中
的极限为a',则
易知的.
f.
是R1到R2的同构映射.因此,符合定义的实数域在同构的意义上是唯一
构造 设M是所有有理数基本列的集合.在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下:
对任意?an?,?bn??1?M.
?bn ?an?~?bn?当且仅当lim?an???0；
23 ?an???bn?＝?an ?an???bn??bn?；
???an?bn?；
4?｛?an???bn?当且仅当存在有理数?.
?0,及n0?N,使当n?n0时,bn?an??我们从有理数性质可以知道,以上基本数列的乘法、加法满足交换律、分配律和结合律.所定义的基本列的序是全序.
实数集R的若干性质.
1°有理数Q在R中处处稠密 对任意两实数a,b,若aa?c?b?b,则必存在c?Q,使
.
2°连续统 实数集R与直线上点集R1一一对应.建立对应的方法如下: 在直线l上取O点为原点,OA为单位,A点所在半直线为正向,建立直线坐标系第一次,以OA为单位,从O点开始,向左、右两边等分直线,得第一批分点(与单位端点重合的点),它们对应全体整数.
划分直线,得第nn批分点,其中p?N＋
,p?1, nn=2, 3,….
这样所得分点,连同第一批分点,对应全体有理数.
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现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间,于是,直线l上每一点B,如果它不是某一批分点,它便包含于一系列子区间之中,这些形成一个区间套.
实数b.这时规定B与b对应.
建立直线坐标系的直线R1称为数直线,或实直线,或连续统；在它上面已不再有“洞”.
由于实数集R与实直线R1等价,以后不再区别R与R1. 3°实数表示成无尽小数形式
由上可知,每一个实数都可以表示成p进制无尽小数.方法如下:
设a是正实数,其在R1上对应的区间套,如果a是有理数,并且还是某些区间的端点,于是规定它在右边区间上.又令a1为区间左端点对应的整数(自然数)；n区间左端点为第an(an列(a1....an...)(0定一个实数.
?0,1,2,???,p?1?1时,
)个分点.于是得到一个唯一确定的非负整数
?a1?p,i?1,2,3,???).
反之,给出一个这样的非负整数列,可以确定唯一的一个区间套,从而唯一地确
1.1.3实数公理
公理1 （域公理）?x,y,z?R,有 (1) 交换律:x?y?y?x,x?y?y?x； (2) 结合律:?x?y??z?x??y?z?,
?x?y??z?x??y?z?；
(3) 分配律:x??y?z??x?y?x?z； (4) 两个特殊元素0与1:?x?R,有
x?0?x,x?1?x；
(5) 每个x?R,关于“+”的逆元?x,关于“·”的逆元x?1（此时x?1x???x??0,x?x?1
公理2（全序公理）与“+”、“·”运算相容的全序公理 (1) ?x,y?R,下列三种关系
x?y,x?y,x?y
有且仅有一个成立；
(2) 传递性:若x?y,y?z,则x?z；
(3) 与“+”相容性:若x?y,则?z?R,有x?z?y?z； (4) 与“·”相容性:若x?y,z?0,则x?z?y?z.
公理3（阿基米德（Archimedes）公理[14]）?x?0[1]?0）,有
,y?0,?n?N,使得nx?y.
公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界.
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1.1.4实数集的连通性
[8]实数集R中有关区间的准确定义:如果R的子集E中至少包含有两个点,而且如果a,b?E,a?b,则有
?a,b???x?子集E被称为是一个区间
Ra?x?b??E
我们熟知,在实数集R中的区间可以分为以下9类:
(??,?),(a,?),[a,?),(??,a),(??,a] (a,b),(a,b] ,[a,b),[a,b]
因为,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另方面,若是E?R为一
个区间,我们可以看作E有无下（上）界,和在有下（上）界的情况下看做其下（上）确界究竟能否属于E,而把E纳入到上述9类之一
实数空间R是一个连通空间.因为区间(a,?),(??,a)和(a,b)都同胚于R,所以这些区间也都是连通的；由于
(a,?)?[a,?),
(??,a)?(??,a]
(a,b)?[a,b)?[a,b], (a,b)?(a,b]?(a,b)可见区间[a,?),(??,a],[a,b),(a,b]和[a,b]都是连通的.
此外还有,如果E是R的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间,则?a,b?R,a?b,?[a,b]?E,也就是说,存在a?c?b,使得c?E；从而,若令
A?(??,c)?E,B?(c,?)?E
B?于是可得到A和B均是E的非空开集,还有A?通.
B?E与A?空集,所以E不连
定义1 把实数集R分成两个子集X、Y,使满足: （1）X、Y至少包含一个实数； （2）每一实数或属于X,或属于Y；
（3）任一属于X的实数,小于属于Y的实数；
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