（4）X中无最大数.
则称X、Y为实数的一个分划,记作(X类.
定理1（戴德金定理[1]） 设(XY)Y),X称为分化的下类,Y称为分化的上
为以实数分划,则Y必有最小数.
论述到此,我们有上述得到了实数集是全序域,并且还是连通集,我们把此连通的域称为是实数空间,仍用记号R表示.
1.2实数连续型基本定理及证明
1.2.1 确界存在定理
定义2（确界）设S?R,若???R满足: （1）?x?R,x??,即?是S的上界； （2）???0,?x0?S,使得x0????,即?则称?是S的上确界,记为??supS.
若???R,满足:
（1）?x?S,有x??；
（2）???0,?x0?S,有x0????； 则称?是S的下确界,记作??infS??不是S的上界.
.
即:上确界是最小的上界,下确界是最大的下界.
定理2 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
证明:我们只要能够证明非空且有上界的数列集合一定存在上确界即可,而对非空且有下界的数列集合一定存在下确界能有类似的论明.
在数学分析课程学习的过程中可以知道任一个实数x都能够表示为以下形式
x?[x]?(x)
其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数的形式:(x)?a1,a2???an???其中a1,a2???an???的每一个数字都是
0,1,2,???,9中的一
个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的无限小数表示.我们可明显注意到有限小数a1,a2???an???和无限小数a1,a2???an???大小是相等的,为表示其
唯一性,预先约定在?x?上无限小数的表示中肯定不出现后者.这样任何一个实数集合S都可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
?a0?0.a1a2???an???a0??x?,0.a1a2???an?????x?,x?S.
? 设集合S存在上界,于是可令S中的元素整数的部分的最大数字是?0,可知?0必存在,因为不然,S不可能存在上界,记
S0??xx?S并且?x?=?0?
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显然S0不是空集,并且对于任意x?S,只要x?S0,就有x??0.
紧接着来考察集合S0里元素无限小数的表示中排在最前位的小数的数字,记它们中最大的数字是?1,类似的我们记S1很明显
S1??x x?S0并且x的第一位小数为?1。x?S?同样不是空集,还有对于任何,只要有
x?S1,就会存在
x??0?0.?1.
如此下去,考察数集Sn-1中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们中的最大者为?n,并记Sn??x x?Sn-1并且x的第n位小数为?n。Sn?显然Sn也不是空集,并且对于任意x?S,只要x?不断地做下去,我们得到一列非空数集S?0，?1，?2，????n??，?满足?0?Z,就有x??0?0.?1?2????n.
?S0?S1?????Sn?????,和一列数
, ?k??0,1，???，9?，k?N.
令
?=?0?0.?1?2????n???，
下面我们分两步证明?就是数集S的上确界.
?1?设x?S,则或者存在整数n0x?Sn?0,使得x?Sn0,或者对于任何整数n?0,有
.
Sn0 若x?,便有xN??0?0.?1?2????n0??；
若x?Sn??n?x?,由Sn的定义并逐个比,较x与?的整数部分及每一位小数,即知
S=?.所以对任意的x?,有x??,即?是数集S的上界.
110n0?2?对于任意给定的??0取x0?Sn0,只要将自然数n0取得充分大,便有
??.
,则?与x0的整数部分及前n0位小数是相同的,所以
??x0?110n0??,即x0????,
所以任何小于?的数都不是数集S的上界.即证?是数集S的上确界.
同理可证明非空有下界数集必有下确界.
1.2.2单调有界定理与区间套定理
定理3 单调有界定理:任意单调有界数列一定是收敛的.
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证明:不是一般性,我们设数列?xn?单调而且递减存在有下界,依照确界原理存在?xn?一定存在下确界?,满足:
?1??n?N?:xn??
?2????0,?xn:xn????00取N=n0,?n所以
?N:??xn?xn????0xn????于是
n???limxn??即证
同理可证单调递增有上界数列也有极限 定义3（区间套）闭区间序列. 若满足条件 ⅰ>对?n,存在[an?1,bn?1]?包含在后面一个闭区间内；
ⅱ>bn?an?0,(n??)[an,bn],即an?an?1?bn?1?bn,也就是有闭区间被
. 即当n??时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之,所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列. 定理4 (区间套定理）设??an,bn??为一区间套:
1[an?1,bn?1]?[an,bn]n?1,2????
?2limbn?an?0n???
?R则{[an,bn]} 称为区间套,这时必存在唯一的一点?证明:因为[an?1,bn?1]?[an,bn]使得 an???bn
,所以?an?是单调且递增的数列,并且存在上
界,?bn?是单调且递减的数列,并且存在下界,那么从单调有界定理可知数列
?an?,?bn?的极限均存在
不妨设limn??an??则limn??bn= lim[(bnn???an)?an]= lim(bn?an)n??+ limn??an= ?
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则?既是?an?的上确界,又是?bn?的下确界,所以an若还有一点??也满足an则有?-??n?????bn,n?1,2,3,
????bn,n?1,2,3,则由上可知?-???bn-an，n?1,2,3,?lim（bn-an）=0所以?=??即证
1.2.3紧性定理
定义4（有限开覆盖）构成的集合.如果S中随意一点均含在H中最少一个开区间里,也就是对?x?S,?I?H,使x?I,我们称H为S的开覆盖,或者称H覆盖了S.
如果H内开区间个数是有限（无限）的,可称H是S的一个有限开覆盖（无限开覆盖）.
定理 4（有限覆盖定理）若H????,???为闭区间?a,b?的无限开覆盖,也就是
在?a,b?的中每个点均含在H中最少一个开区间??,??里.于是在H内一定存在有限数个开区间,它们组建成?a,b?的一个有限开覆盖.
证明:反证法.假设区间[a,b]不能被H中有限个开区间覆盖.将?a,b?等分为两个等长子区间,于是这两个等长子区间中最少有一个不能够被H里有限个开区间覆盖,我们记此区间为?a1,b1?,并且b1?a1?12?b?a?
继续把?a1,b1?等分为两个等长的子区间,一样最少存在一个子区间是不能够被
H内有限个开区间覆盖,我们记此区间是?a2,b2?,并且b2?a2?122?b?a?
如此进行下去,得到一个闭区间列??an,bn??,它满足
?an,bn?而且bn?an?12n??an?1,bn?1?,n?1,2,
?b?a?,于是??an,bn??为区间套,并且每个闭区间均不能够被H内有限数个开区间来覆盖.
由区间套定理可知,有唯一一点?开覆盖,因此有开区间??,???H??an,bn?,n?1,2,?.因为H为?a,b?的一个
,满足???,??,当n充分大的时候存在
?an,bn?0???,??,这就表明?an,bn?能够被H中一个开区间覆盖,得出矛盾.证毕. ,??R定义4SS?U?R,如果?的随意去心领域里均含有S内不同于?的点,也就是
??,????,我们称?为S的一个聚点.
定理6（聚点定理）直线上任意有界无限点集合最少有一个聚点?,也就是在?的
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任何小邻域里均含有S里无穷多个点（?本身可以属于S,也可以不属于S）.
证明:反证法.设A为有界集.即
x??a,b?A??a,b?.设A无聚点.则对于任意的
Ix,x不为A的聚点,故必有开区间Ix,使得x??,且Ix中至多只含有A的一
个点
x,这样开区间族?n?Ixx??a,b??n覆盖了?a,b?,由有限覆盖定理得,存在
n?Ix1,Ixm???使?a,b??k?1Ixk,当然
k?1Ixk也覆盖A,再有Ix的构造知
kIxk?1k至多含
有A的有限个点,因此A为有限集,这与A为无限集矛盾.即证.
定理7（致密性定理）界数列必有收敛子列. 证明:设数列?an?有界,即a列；如果A?an?b,?n?N.若?ann?N?为有限集,则数列
?an?必有无穷项相同,把这些相同的项依下标从小到大排列得到?an?的一个收敛子
??ann?N?是无限集,从聚点定理可知,A内一定存在一个据点a,再由
据点定义,我们可得一个收敛子列,并且收敛于a.即证.
1.2.4 柯西准则
定理8(柯西准则[11])数列??n?收敛充要条件为:??n,m?N,肯定有?m??n???0,?N?N?,只要
.
?0证明:先正必要性.设?an?收敛于a,则对于任意的?an?a?,?N,?n,m?N,有
?2,am?a??2
于是
am?a??2an?am?an?a?am?a??
再证充分性.先证数列?an?有界.取?0?1,则由定理知
?N0,?n?N0有an?aN0?1?1
令M?max?a1,a2,,aN,aN00?1?1,?则对一切n,成立
an?M?,由致密性定理,在
?N?an?中必有收敛子列:limank??k?a由定理得???0,?N?N,只要n,m再令k,恒有
an?am?an?a??2.在上式中令am.即证.
?ank,当k充分大时,满足nk?N??于是得到
?2??该定理也被称为序列极限的柯西准则,相似的还有函数极限的柯西准则:
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