此即xn???n???,如果{xn}中任何一项后均不存在最大项,不失一般性我们
不妨选择自第一项就是如此,并且记xn?n2?n1使xn2?xn121?x1,因为x1不为最大项,在{xn}里一定有
n2,但是又由于xn同样不是最大项,{xn}内也一定有n3?使得
xn?xn32.由此继续推证,一定得到子列{xn},这个子列递增而且是有上界的,再由单
k调有界定理,?xn?一定收敛,假若收敛于?.与上同理可证xn???n???.总之
Cauchy数列?xn?必收敛.
1.3.4 用有限覆盖定理证明其他定理
（1）证明确界定理 设E?R,E??,且?M?R,有?x?E,x?M.任取x0?E,构造闭区间?x0,M?,
假若E无上确界（最小的上界）,那么?x??x0,M?,有
（1）当x是E的上界的时候,必有更加小的上界x1邻域都是E的上界；
（2）当x不为E的上界的时候,明显存在E内的点x2此邻域中的每点都不能为E的上界.
由此,?x0,M?x,所以存在x开邻域?x,此
?x,所以存在x开邻域?x,
?内每个点x均可以找到一邻域?x,这个邻域或者属于第一类,或者
M属于第二类,而且这些个邻域??x:x??x0,??组成?x0,M?一个开覆盖,又从有限覆盖
定理可知,一定有有限子覆盖??x1,?x2,?,?xn?.值得注意的是,M所在区间是属于第一类的,与此相邻的开区间存在公共点,所以也应该属于第一类的,由此继续递推同样可以得到x0在的区间也是属于第一类的.这就与x0(2)利用有限覆盖定理证明单调有界定理
设{xn}是单调递增有上界的数列,若{xn}不收敛,则区间?x1,M?内任一点x都不会是{xn}的聚点,否则,设x的邻域?x??kk?E相互矛盾.
?12k,x?1?k?2?内含有{xn}的无数点,记它们之一
是xn,并且当k不同时,xn取的是不同的点,于是有
x?12k?xnk?x?12k,k.
?1,2,???
令k??得xnk?x又因为{xn}递增,?n（n充分大）必?k,使nk
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?n?nk?1
从而
xnk?xn?xnk?1
令k??得xn?x0这与假设{xn}不收敛相矛盾.
由于x不可能为{x}的聚点,于是在?x??,x???上只含有{xn}内有限数个点,把x取遍
?x1,M?,可得到开覆盖H,从有限覆盖定理可知,H必为有限子覆盖
m H?U ?xk??k,xk??k???x1,M???xn?
?仅仅含有{xn}中
k?1 这就说明H覆盖{xn},但是另外还有,每一个开区间?xn??k,xk??k 有限个点,所以H一定也仅含有{xn}中的有限个点,如此的话又产生了矛盾.所以
{xn}一定收敛.
(3)用有限覆盖定理推出区间套定理 设??an,bn??是区间套,记
In??an,bn?,Jn?E?In,
?则?Jn?是开集序列,若
n?1In??,则必有?Jn???a1,b1?,即?Jn?是?a1,b1?的开覆盖.由定
理1.4,必存在有限子覆盖
mJnk?k?1?a1,b1?.从而
?a1,an?m???bn,b1??m??a1,b1??这是不可能的. 所以
?
?In??n?1.设??In.即an???bn(n?1,2,n?1,).?的唯一性不必陈述.
(4)证明聚点定理 设E??x?是有界无限点集,必存在a,b使a?x?b.如果不存在聚点,那么在闭
区间?a,b?上有任何一点x均不能是E的聚点,因而x的?x邻域U?x，?x?最多含有E的有限数个点,使x取尽?a,b?就得到开覆盖?U?x，?x?|x??a,b???可知,H一定存在一个有限子覆盖
H??U1,U2,???,Uk???a,b??EH,从前述定理
又因为每一个Ui?i与H
?1,2,,k?均仅含E中有限个点,H一定也仅仅含E有限个点,此
?E而且E为无限集相矛盾,因此E最少含一个聚点.
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(5)证明Cauchy准则定理 设{xn}为Cauchy数列,也就是说???0,?N,?n,m?N?xn?xm??2
前面已经得证{xn}是有界的,也就是存在a,b,使得a内任何一点x都不会是{xn}的极限,于是必 ??0?N0?xn?b.若{xn}不收敛,则?a,b?00,?N1,?m?N1?xm?x???令
?max?N,N1?则对?n?N0,必?m1??0N0使
xn?x?xm?x?xn?xm1?012这表明
数列{xn}只有有限项满足
xn?x?2,或者说x的邻域U?0??x,??2??只含{xn}的有限项.
现在令x取尽闭区间?a,b?,可得到开覆盖?U?x,?x??有限子覆盖H ??U1,U2,???,Uk???a,b?? ?H,从定理1.4可知,H一定有
?xn?,因为每一个开区间Ui?i?1,2,???,k?上
都只含有{xn}有限个数的点,H一定也只含有{xn}有限个点,但是这和H??xn?并且
?xn?为无限集相互矛盾,因此Cauchy数列必收敛.
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第二章 实数连续性的应用研究
2.1连续函数性质的证明
2.1.1 连续函数的有界性定理
定理1 连续函数的有界性理:假若函数间[a,b]内有界. 证明:
方法一:应用有限开覆盖定理 从连续函数的局部有界性可知,?使得
f(x)?Mxf在闭区间[a,b]内连续,那么
f在闭区
x?[a,b],?正整数Mx,满足
f在U（x,?x）内,
.
?[a,b],显然,是[a,b]的一个开覆盖.由有限开覆盖定
考虑开区间?={U（x,?x）: xi理,存在子覆盖??={U (xi,?x):xi?[a,b]}?ix??1,2,?,n?,且存在Mi,使得,对一切
i U (xi,?x)
i?[a,b]有
f(x)?Mi.令
M=
maxMi,则对
,x?[ab,]f(x)?Mi?M,证毕.
方法二:应用致密性定理 假若
f(x)在[a,b]内没有上界,于是对?正整数n,有xn?k[a,b]能够让f(xn)?n,
存在数列{xn}a?xn?[a,b],从致密性定理,存在收敛子列{xn},并且记limxnkk??=?.
k?b,由保不等式性得
k??[a,b].有连续函数的性质
f(xn)klimf(xn)k??k=f(?)???,而f(xn)?nk?k???lim=?,矛盾.同理可证
k??有下界,证毕.
2.1.2连续函数的介质性定理
定理2 连续函数的介值性定理:若介于足
f(a)f在[a,b]内连续,而且
f(a)???f(b)f(a)?f(b),?如果
和
f(b)之间随意实数,这里不妨假设
,于是存在x0,能满
f(x0)??.
证明:
方法一:应用区间套定理 令
g(x)=
f(x)-?,则g也是
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[ab,上的连续函数,且
g(a)=
f(a)-??0,
g(b)=
f(b)-??0.于是问题转化为证明:存在
x0?[a,b]使
得,g(x0)=0.
将[a,b]平分,得,[a,c],[c,b],若g(c)=0,则c即为所求； 当g(c)?0 若g(c)??0,[a1,b1]=[a,c],若g(c)12?0,则记[a1,). =
12nb1]=[c,b].
此时,g(a1)0 ,g(b1) ?0,且b1-a1=
?(b?a重复上述步骤,得g(an)0,g(bn)?0.且bn?an(b?a)?0（n??）,如此得
一系列区间{[a,b]},中间可能出现两种情况: a) 某个ci,满足g(ci)=0,则,ci即为所求； b) 不存在这样的ci满足
g(bn)?g(ci)=0,此时在所得的这些区间上,满足g(an)?0
0.
?x0?bn有区间套定理,存在x0,满足an假若g(x0)U(x0.下证g(x0)=0.
??0,可以设其大于零,由连续函数保号性质知,存在有x0的一个邻域 U（x0,?）,所以g(an)?,?),满足an0.矛盾,故必有g(x0)=0,证毕.
方法二:应用确界原理
同样令g(x)=
E?[a,b]g(x0)f(x)-?,记E={x: g(x)?0,xE?[a,b]}.由g(b)?0,得b?E,又
,所以非空有界集.有确界原理,
?存在下确界,设
x?（a,ax0?infE?.下证
x?=0.g(a)b0, g(b)??0,有保号性,存在?,使得??a+?）.g(x)?0,?（b??,）, g(x)0.所以x0 x0?b.所以x0?（a,b）假设g(x0)0,不妨设其
?大于零.由连续函数的保号性,存在x0的邻域U（x0,?）使得,对于任意x,满足g(x)特别有g(x0?0.
?2)?0,所以x0??2?E .这与x0为E的下确界矛盾,证毕.
方法三:有别于一般的证明方法,这里利用有限覆盖定理 由上g(x)的定义,g(a)假设g(x)=0在[a,b?0, g(b)?0,现证g(x)=0在[a,b]上至少有一个实根.
?[a,b],g(x)?]上没有实根,则对每一点x0.
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