设f?x?在U0?a?上定义，则极限'limx?af?x?存在的充要条件是：
fx???0，???0，当0?x?a??,0?x?a??'' 时,有
???f?x???
'''1.3实数基本定理的等价证明
1.3.1 基本定理循环例证
[4]例1 确界定理?单调有界定理.
证明:可以设数列?an?为单调递增且有上界,从确界定理知?an?也有具有上确界,记为??sup?an?,显然?就是其极限.事实上,???N?0,由上确界定义知,?aN,使
aN????,由单增性知,当n时,有
,
an????????aN?an??,
即 limn??an??.
例2 单调有界定理?闭区间套定理.
证明:若??an,bn??为一区间套,那么?an?单调递增且有上界,从单调有界定理可知
?an?存在极限?,并且an??,n?1,2,?.由区间套的定义知limn??bn??,又?bn?单减有
下界,所以 bn??,n?1,2,?.此说明
an???bn,n?1,2,???1?bn. ,n?1,2,?下证?是唯一的,设?1变满足上式,即an即?1.
,则有
?1???bn?an?0（n????）.
例3 闭区间套定理?有限覆盖定理[13].
证明:若H是?a,b?内的无限开覆盖,如果定理不成立的话,也就是说不可用H内有限数个开区间覆盖?a,b?.将?a,b?分成两个等长德子区间,那么其中最低会有一个半区间是不会被H内的有限个区间所覆盖的,不妨将它记为?a1,b1?,继续把?a1,b1?分成两个等长的小区间,同样的其中最低会有一个半区间,是不能够被H中有限数个区间所覆盖的,也不妨把它记为[a2,b2],像这样一直下去的话,我们就会得到一个闭区间套,我们把它记为??an,bn??n?1,这之中的每个区间不可被H内有限数个开区间覆盖.经闭区间套定理,可知有唯一的点????,???H??an,bn??,n?1,2,?.因为H为?a,b?的覆盖,因此
?an?bn??,能够使????,??,再由保序性得到:当n相当大的时候,?,
也就是?an,bn????,??,这样就和?an,bn?的组成矛盾,证毕.
例4 有限覆盖定理?聚点定理.
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证明:设S?R是有界无限点集,则??a,b??R,a,b为有限实常数,使得S??a,b?.
如果S存在聚点,那么该聚点一定是属于?a,b?,我们容易证明?a,b?区间以外随意一个点均不可能是属于S的聚点,所以只要求证出:如果S没有聚点,那么这样就得出了矛盾.
事实上,假设义,
?x??a,b?xS??不存在聚点,即?a,b?中任一点都不是
xS的聚点,由聚点定
,
?0,使得U?x,?x?中只含有
S中有限个点,记
H??U?x,??x??a,b??,显然H是?a,b?的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在有限
个邻域覆盖?a,b?,从而亦覆盖了S.由U?x,?x?的性质立得S中只有有限个点,矛盾.
例5 聚点定理?柯西收敛准则. 证明:设?xn?是R中任一数列,满足条件:??xn?xm???0,?N?0,?n,m?N,有
?1, 从
. （3）
1由此易证?xn?是有界的（事实上,对?而
xn?xN1?1,?N1?0, 当n?N1时,有xn?xN?1?1?1,取
M?max?x1,x2,?xN,xN11?1?,则
xn?M,n?1.）,记
S??xnn?1,2,??,则S为有界集.如果S是有限集,那么S中最少存在一个元素在?xn?k里会出现无穷多次,令此组成一个常数的子列?xn?,那么它一定是收敛的,假设它的极限是a,也就是有xnk?a,经条件（3）我们可知数列?xn?也收敛于a.如果S为无限集,
那么由聚点定理可知S最少有一个聚点,不妨设为?,于是有
limxm??.
n??我们从聚点等价的定义可明白,在S中存在彼此相互不同的点列,因而是数列
?xn?的一子列,也即是?xn?,也就是有
klimxn??k??k.
xn??又
xn???xn???xn?xnkk,由（3）式立得limn??.
例6 聚点定理?致密性定理. 证明:设数列?xn?为有界数列,令S立明（过程如例5）.
例7 致密性定理?柯西收敛准则.
证明:设数列?xn?符合柯西收敛准则里的所有条件,于是?xn?为有界数列,那么一定存在收敛的子列,这样便可证得整个数列收敛.
例8 柯西收敛准则?确界定理.
证明:假设S为非空并且存在上界数列,经实数的阿基米德性质我们可知,对随意的正数?,总会存在整数k?,满足?????k?为S上界,但是???????k??1?不为S的
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??xnn?1,2,??,如果S是有限集,那么由例5
的证明我们可知存在收敛的子列.如果S是无限集,那么存在聚点,有聚点的等价定义
上界,也就是说????S,使
????k??1??.
?1n今分别取??1n,n?1,2,?,则存在n,使得?n为S的上界,但?na??n不是S的上界.于
是,?a?S,
,n?1,2,? （4）
?n?Z??,有 ,?an???n??n?an1n,n?1,2,? （5）
?N由此易得?m?11???n?max?,??mn?,于是,???0,?N?0,?n,m,有
?n??m??,
由柯西收敛准则知??n?收敛,记lim?nn????.下证?是S上确界.由（4）易得?是其上界.
n?N其次,
???0,由
1n?01n得
?N?0,当,有
?n?1n??n??2????,由（5）
知:????S,有????n?????.此说明?为S的上确界.
1.3.2用区间套定理证明其他定理
(1)证明确界存在定理
假设E为非空且有上界M的数集,如果MM?E?E,那么明显有M?SupE,如果
,那么取x0?E,在?x0,M?上构建区间套??an,bn??,使得数列bn一直是E的上
an???limbnn??n??界,数列an总不会是E的上界,经区间套定理我们可得到lim用类似单调有界定理求证确界定理的办法,可证得? (2)证明单调有界定理
假设{xn}是递增且有上界M的数列,即x1?xn?M?SupE,接下来利
.
.在?x1,M?构造区间套
??ak,bk??让bk保持为{xn}的上界,ak一定不是{xn}的上界,故一定有
???bk?N,?n?N,?ak?xn?bk在另方面,经区间套定理可知,一定??使akk??,进而xn???bk?ak,由于当
时,一定有bk?ak?0并且n??,可得xn??.证毕
(3)证明有限覆盖定理[13]
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设?a,b?存在开覆盖M,没有有限子覆盖,则对?a,b?作区间套??an,bn??让每一闭区间?an,bn?均没有有限子覆盖,由区间套定理,必存在???an,bn?.今作?的邻域
????,????.因为bn?an?0?n???必有?an,bn??????,????.这与?an,bn?的构
造矛盾.故?an,bn?一定有有限子覆盖.
(4)证明聚点定理 设E?{xn}是有界无穷点集合,即存在a,b使aE?x?b.今对?a,b?作区间套
,所以
??ak,bk??使每个?an,bn?均含有集合
,n=1,2,
的无穷个点,从区间套定理,一定
??,????????an,bn?.今作?的邻域??.由于bn?an?0?n???当n相当大的时候,一定存在?an,bn?道????,????????,????,根据?an,bn?的构造方法,能够知
?一定含有E的无穷个点,所以?为集合E的聚点.
(5)证明Cauchy准则定理
设{xn}是Cauchy数列,前已证有界,即?M?0,使
xn?M,今对??M,M?作区间
套??ak,bk??使每个闭区间?ak,bk?都含有{xn}的无数个点,由区间套定理必??使
ak???bk,又由?ak,bk?的性质,必?k使ak从而xnk?xk?bk?k?1,2?于是有
xnk???bk?ak?0?k?????,即???0,?K,?k?K?xnk????xnk??
又因为{xn}是Cauchy数列,即??N1?max?K,N?便有xn?n?0,?N,?n,nk?N?xn?, 取
xn????x?xn?xn???2?,此即limkk,证毕.
n??1.3.3用单调有界定理证明其余五个定理
(1)证明确界存在定理
设E是非空有上界M的数集,若Mx0?E?E,则显然M?SupE,若M?E,则取
,对?x,M?作区间套??an,bn??使bn总是E的上界,an总不是E的上界,由于?an?liman???limbnn??n??递增,?bn?递减,可证明??便E的上界,即?x?E.今证?就是E的上确界. 因为bn总是,又由limn??有x?bn,令n??得x??an??,即
E??0,?N,?n?N有????an????,而an又总不是EE的上界,于是必?x1?.证毕.
.使
an?x1,从而????x1,于是得??supE(2)证明区间套定理
13
假设??an,bn??为区间套,由于?an?是递增有上界数列,从单调有界定理可知,一定??使k?nliman=?n??,由于bn?an?0?n???,所以limbn=lim?bn-an??liman=?n??n??n??,又在
的时侯,存在an?ak?bk?bn,令K??可得an???bn,有关?的唯一性也易
证,证毕.
(3)证明有限覆盖定理
设H是?a,b?的开覆盖.如果H没有有限子覆盖,那么对?a,b?构建区间套,让每一个闭区间?an,bn?均没有有限子覆盖,类似单调有界定理证明区间套定理的方法,由单调有界定理可得limn??an???limbnn??,即
,
???0,?N,?n?N?????an????,????bn???????0,?N,?n?N?????an????,????bn????从而[an,bn]?????,????
??,???这表明?an,bn?已被开区间??盖定理成立.
(4)证明聚点定理 设E??所覆盖,这与?an,bn?的作法矛盾,于是有限覆
?x?是有界无限点集.构建数列?xn??E,类似利用单调有界定理求证柯
西准则的方法,能够得到?xn?一定存在收敛子数列?xn?k?,满足xnnk???k???,因此
的邻域U??，??一定有?xnk?的无穷个点.因为?x???x??E,所以U??，??必含
nk有E的无数个点,这即是说U??，??是E的聚点.
(5)证明Cauchy准则定理
?xn?是Cauchy数列,即???0,?N,?n,m?N?xn?xm???max?xk?1,xk?2,n前已证?xn?有界,若
于是得子列
?xn?的任一项之后总有最大项,则记xnnkk?,k?1,2,?x?,它显然递减且有下界.由单调有界定理知?x?必收敛,设收敛于?,即对
k??0,?K,?k?K?xn????k取N1?max?K,N?,于是当k,n?K时便有
xn???xn?xnk?xnk???2?
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