bn-an?12n（b-a）?0（n??）
,下证
f根据区间套定理,存在唯一一点?∈[an,bn] ?n点连续.
???012n?1,2,??,且an???bn在?,可取n,使得
??,从而令?=min{bn-?,?-an},则,
1?i?nx????时,x
?[an,bn],从而
f(x)?f(?)?w[anbn]?12n??,所以
f在?点连续.证毕.
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结 论
实数的连续性性质是实数域的一个重要的基本特征,微积分学理论的坚实的基础.我们在求证闭区间连续函数性质时,因为实数连续性的七个基本定理具有等价性,以所以可因此能够用任意的其中一个实数的连续性定理来论证在闭区间上的连续函数具有的性质.本文是围绕实数的八个基本定理,实数七个基本定理从根本上讲是等价的,其阐述的角度不同,以不同的形式刻画了实数的连续性,各自又有不同的应用. 尽可能全面的总结出定理之间的相互证明关系,并尝试用不同的办法,不常用的证明方法,顺序进行证明.对其应用更做了汇总与推广,通过其在连续函数方面的应用,可以看出它在极限函数理论方面的基础性作用.我们尝试着继续将其推广,可知实数集合的完备性在实数集上属于基础性特征,不过是在证明的难度上有区别罢了.在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.
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