第二章 需求、供给、均衡与弹性
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1、用两者变动的相对量来衡量：Ed??QQ ?PP （2.4.3） 但这种计算方法面临的问题是，作为分母的P、Q以变动前的P1与Q1，或以变动后的P2与Q2所计算的同一段曲线的价格弹性是
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不相同的。为了弥补这一缺陷，我们可以采用弧弹性的中点公式。
2、需求的弧弹性（arc elasticity of demand）
弧弹性是某一个价格区间上计算的价格弹性，弧弹性中点公式：
Ed??QQ?PP??Q(Q1?Q2)?QP1?P2??P(P1?P2)?PQ1?Q2 （2.4.4）
弧弹性等于最低价格和最高价格之间某个点处的点弹性（并
不必定在最低价格和最高价格的中间）。当我们计算的弧距离趋近于零时，就进入了点弹性（point elasticity）。一般，经济学家用“弹性”直接表示点弹性。
3、点弹性：Ed?lim?P?0?QPdQP22???PQdPQ （2.4.5）
4、在通常情况下，需求价格弹性是一个负数。当一种商品的价格上涨时，其需求量一般会下降，因此?Q?P(由价格变化导致的需求量的变化)是负值，所以Ed也是负值23。
5、当价格弹性的绝对值大于1，我们就说需求是有弹性的（elastic），此时需求量的下跌百分比要大于价格的上涨百分比；当价格弹性的绝对值小于1，我们就说需求是无弹性的（inelastic）。一般说来，一种商品的需求弹性取决于该商品有多少替代品。替
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如果仅仅是一般地计算需求曲线上某一段的弹性，可用中点公式；若明确计算涨（降）价的结果，则不需。 弹性的定义都使用了偏导数，这意味着当考察决定需求的某一因素时，所有其他的因素都被固定为常数。
------高鸿业第五版P31。
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——尼克尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版） ex,px??xx?xpx?xPx?????pxpx?pxx?Pxx?xx?xI?xI?????II?Ix?Ix ex,I? ex,py23
?xx?xpy?xPy??????pypy?pyx?Pyx 高鸿业教科书上为了使计算出的弹性值为正，在需求价格弹性的计算公式前加上了“-”号。见第五版P30。
第二章 需求、供给、均衡与弹性
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代品越多，该商品的需求价格弹性越大；如果没有较接近的替代品，需求往往是无价格弹性的。
6、需求价格弹性界于零和无穷大之间。分为富有弹性（ed＞1）、缺乏弹性（ed＜1）、单位弹性（ed=1）、完全弹性（ed=∞）、完全无弹性（ed=0）。（见教科书P32图2-11）
边讲边练：
7．教科书P56“复习与思考13”。
8. 一个城市乘客对公共汽车票价需求的价格弹性为0.6，票价1元，日乘客量为55万人。市政当局计划提价以后，净减少的日乘客量控制为10万人，新的票价应为多少？
解析：根据弧弹性的中点公式Ed?24
?X(X1?X2)?XP1?P2和已知条件得到：???P(P1?P2)?PX1?X20.6?10P?1?，解得P?1.4元 P?155?459．假设某种商品的50%为75个消费者购买，他们每个的需求价格弹性为2，另外50%为25个消费者购买，他们每个的需求价格弹性为3，试问这100个消费者综合的价格弹性等于多少？
解析：根据两类消费者的个人需求价格弹性和购买数量，我们可以得到：
⑴假设100位消费者购买的商品数量为Q，市场价格为P。根据题设，其中75个消费者的个人需求价格弹性等于2，它们购买了市场一半的产量。因此，
Edi?2??dXiPdXiX????2?i,i?1,2,3......,75 ① dPXidPP?Xi?i?175X ② 2⑵另外25个消费者的个人需求价格弹性等于3，它们购买了市场另一半产量。
Edj?3??dXjdP?dXjXjP???3?,j?1,2,3......,25 ③ XjdPP?Xj?j?125X ④ 2⑶100位消费者的市场需求价格弹性为：
dXPEd????dPX24
d(?Xi??Xj)i?1j?17525dP?75dXi25dXjP????????X?i?1dPj?1dP?P?? ⑤ ?X? 同济大学1998年研究生入学考试试题。
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将①、③代入⑤得：
25Xj?P?75Xi275325P? ⑥ Ed???(?2?)?(?3?)??(X?X)????ij???PP?XPi?1Pj?1Xj?1?i?1将②、④代入⑥得：Ed?(2X3XP5???)?? P2P2X2（二） 需求价格点弹性的几何意义
只要需求曲线满足：
Qd????P （2-2） 则
Ed??P?0lim?QPP??-???PQQ （2-9）
PQ在（2-2）式中，-?表示需求曲线相对于价格轴的斜率，是需求曲线上求弹性那一点引向圆点射线的斜率。
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P P
b
P a a 0 d c Q c 0 b Q 图 2-5 图 2-9 根据图2-5，（2-9）式可以进一步转化为：
Ed?lim?P?0?QPPPa0P0Paccd??????????PQQPbPaPbabd0 （2-10）
由（2-8）式我们知道：
Ⅰ 线性需求曲线的点弹性等于需求曲线相对于价格轴的斜率乘
以（P/Q）。换句话说，决定弹性大小的因素，除斜率外，还有价格与
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上海财经大学2002年研究生入学考试题：“在微观经济学中给定一线性的反需求曲线P?f(Q)（Q为需
求量，P为价格）请用代数方法证明该函数任意两点上的需求函数弹性不等”。可以利用（2-2）式和（2-7）来说明。
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数量。因此，即使斜率相同，弹性也不相同．．．．．．．．．．．．．。
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例如图2-6中，设线性需求曲线Q=8-2p。对于这条需求曲线而言，斜率恒定不变且等于-2（即P增加1个单位导致Q减少2个单位），但这条曲线的斜率并不是恒定不变的。当我们从曲线的左上方向右下方移动时，比率P/Q会连续减小，因此弹性的绝对值就会减小。该曲线在中点（P=2，Q=4）的弹性等于-1，在这点以上大于1，在这点以下小于1。在靠近需求曲线与价格轴的交点处，Q趋于零，因此Ep=-2（P/Q）的绝对值趋于∞；在需求曲线与横轴的交点处，P=0，所以Ep=0。 Ⅱ 线性需求曲线上任何一点的弹性，都可以通过由该点向价格轴或数量轴引垂线的方法求得。
Ⅲ 线形需求曲线上的点的位置越高，相应的点弹性系数值就越大；位置越低，相应的点弹性系数值就越小。线形需求曲线上每一点．．．．．．．．．．的弹性都不相等。 ．．．．．．．．
Ⅳ 对于线性需求曲线上任一点的点弹性都不相同来说，水平和垂直的需求曲线是例外。水平需求曲线上的每一点的点弹性均为∞，垂直需求曲线上每一点点弹性均为0。
Ⅴ 直角双曲线的弧弹性和任一点的点弹性都是单位弹性Ed=127。 Ⅵ 非线性需求曲线上任何一点的弹性可以通过作该点的切线求得，方法与线性需求曲线相似28。
?Q?P ?yy?yx?yx????式可以看出，弹性是针对函数的一点而言，同一函数不同点的弹性
?xx?xy?xy?yxxx??b??b?一般是不同的。例如，线性函数y?a?bx?其他项，则ey,x?，?xyya?bx??26
从ey,x?显然这个弹性不是常数，所以对于线性函数，一定要说清楚弹性是哪一点的弹性。如果y是x的指数函数
y?axb，则弹性是常数，和取点无关，ey,x?对数ln?yxx??abxb?1?b?b。也可以对指数函数两边取?xyaxy?lna?blnx，就有ey,x??lny?b。对很多有指数形式的函数来说，先取对数再计算大概
?lnx是最简便的方法。——尼克尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）P24-25。
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需求直角双曲线的点弹性具有这一特点的原因在于：对于任何直角双曲线的需求函数Q=K/P,(K＞0)来说， 如果一条线性的需求曲线与另一条曲线型的需求曲线相切，则在切点处两条需求曲线的需求的价格弹性系数（）。A、不相同；B、相同；C、可能相同，也可能不相同；D、根据切点的位置而定。
不论价格的变化率是多少，需求量总是以相同的比率反方向变化。（高鸿业五版P35）
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Ed=－∞ 价 格 需求的价格弹性不仅取决于需求曲线的斜率，还取决于价格和数量。因此，随着价格和数量变化，Ed= -1 需求价格弹性会沿着曲线而变化。 对于线性需求曲线，其斜率是恒定不变。靠近顶端处，价格很高，数量很少，因此弹性的绝对值很Ed=0 大；而当我们沿着曲线向下移动时，弹性的绝对值便逐渐减小。 P0 Q 数量 图2-6 线性需求曲线弹性
价 格 价 格 P0 （a） 数量 （b） 数量
图2-7 完全弹性的需求和完全无弹性的需求
（a）完全弹性需求（infinitely elastic）。对于一条水平的需求
曲线来说，?Q?P为∞，价格的一个微小变动将引起需求无穷大的变动，因此需求的弹性为无穷大；
（b）完全无弹性需求（completely elastic）。对于一条垂直的需求曲线来说，?Q?P为0，无论价格怎样变化，需求量总是不变，因此需求的弹性为零。
完全弹性需求 在某个价格水平下，消费者将会购买无穷多的某种商品，但是只要价格稍微升高，该商品的需求量马上就降为零；价格只要略微下降，需求量马上就趋于无穷大。
完全无弹性需求 不管商品的价格是多少，消费者的需求量都是不变的。