立体几何
2015 2014 2 2013 3 2012 3 【2014新课标I版（理）12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
（A）62 （B）6 （C）62 （D）4
【答案】B
【2013新课标I版（理）6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A．
500π3866π31372π32048π3
cm B．cm C．cm D．cm 3333【答案】A
【2013新课标I版（理）8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．16＋8π B．8＋8π C． 16＋16π D．8＋16π 【答案】：A
【2012新课标I版（理）7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B
【2012新课标I版（理）11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A．
2322 B． C． D． 6632【答案】A
【2014新课标I版（理）19】(本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
AB?B1C.
（Ⅰ）证明：AC?AB1;
（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60?,AB?BC,求二面角A?A1B1?C1的余弦值. 【答案】（I）连接BC1，交BC连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，O，1于点所以
BC?BC1,且O为BC的中点. 11及BC1又AB?B1C,所以B1C?平面ABO.由于AO?平面ABO，故B1C?AO. 又B1O?CO,故AC=AB1.
（II）因为AC?AB1,且O为BC1的中点，所以AO?CO.
又因为AB?BC,所以?BOA??BOC,故OA?OB,从而OA,OB,OB1两两相互垂直， 以
O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.因为?CBB1?60?,所以?CBB1为等边三角形又.AB?BC，则
33A(0，0，),B(1，0，0),B1(0,,0),C(0,?3333AB1?(0,,?),A1B1?AB?(1,0,?333,0).3
33),B1C1?BC?(?1,?,0),33设n?(x,y,z)是平面AA1B1的法向量，则?33y?z=0，???n?AB1?0,?33即????n?A1B1?0,?x?3z?0.?3?所以可取n?(1,3,3).
??m?A1B1?0,设m是平面A1B1C1的法向量，则???m?B1C1?0, 同理可取m?(1,?3,3).cosnm,?则
n?m1?nm7. ……
1所以二面角A?A1B1?C的余弦值为.17
12分
【2013新课标I版（理）18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【答案】
（1）取AB的中点O，连接OC1O、OA、A因为CA=CB，所以OC?AB，由于AB=A 1O1B，A1，∠BA A1=600，故?AA1B为等边三角形，所以OA1?AB，所以AB?平面OAC，因1为AC，所以AB⊥平面A1C； ?平面OAC11
（2）由（I）知OC⊥AB，OA?A1B.又平面ABC⊥平面AA1B1B，故OA,OA1OC两两相互垂直。
OA为单位，建立如图所示的空间直角坐标系以O为原点，OA1的方向为x轴的正方向，
O-xyz.
0A1(0,3,0)，C(0,0,3),B(?1,0,0)，则BC?(1,0,由题设知A(1,0,，
，)3，BB1?AA1?(?1,3,0)，AC?(0,?3,3)，设n?(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量，1???n?BC?0?x?3z?0则?，即?所以n?(3,1,?1) ???n?BB1?0??x?3y?0?AC??AC??NNAC11110 510. 5所以直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值
【2012新课标I版（理）19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝的中点，DC1⊥BD．
1AA1，D是棱AA12
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小． 【答案】
（1）在Rt?DAC中，AD?AC 得：?ADC?45
?? 同理：?A DC?45??CDC?90111? 得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC （2）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC
取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H A?C1O?1C1?B1C1 OH?BD?1CH?，面ABA1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD 1H与点D重合 得：点BD 且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角 设AC?a，则C1O?2a，C1D?2a?2C1O??C1DO?30? 2? 既二面角A1?BD?C1的大小为30