?SA?底面ABCD,?MF?底面ABCD ?FQ?AC,?MQ?AC
??FQM为二面角D?AC?M的平面角
设
SA?AB?a在
Rt?MFQ中
MF?1a26SA?,FQ?a,MQ?MF2?FQ2?a 2244?cos?FQM?3FQ3 所以二面角D?AC?M的余弦值为 . ?3MQ3解法2:(1)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A?xyz,由于SA?AB,可设
AB?AD?AS?1,则A?0,0,0?,B?0,1,0?,
?11?C?1,1,0?,D?1,0,0?,S?0,0,1?,M?,0,?
?22??11??AM??,0,?,CS???1,?1,1?
?22??AM?CS?0, ?AM?CS
又?SC?AN且AN?AM?A ?SC?平面AMN.又SC?平面SAC 所以,平面SAC?平面AMN
(2)?SA?底面ABCD?AS是平面ABCD的一个法向量,AS??0,0,1? 设平面ACM的一个法向量为n??x,y,z??AC??1,1,0?,AM??,0,?,
?1?21?2?
??n??3??AC?0则?? 得n??1,?1,?1? ?cos?AS,n???
3??n?AM?0?二面角D?AC?M的余弦值是
3 . 3错误！未指定书签。．（河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知斜
三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形, ?ACB?90,侧棱与底面所成角为?,点
B1在底面上的射影D落在BC上.
(1)求证:AC?平面BB1C1C;
(2)若cos??,且当AC?BC?AA1?3时,求二面角C?AB?C1的大小.
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【答案】解:(1)∵点B1在底面上的射影D落在BC上,∴B1D?平面ABC,
AC?平面ABC,∴B1D?AC又∵?ACB?90∴BC?AC,B1DIBC?D,
∴AC?平面BB1C1C
(2)∵B1D?平面ABC ∴ ?B1BD?? 即cos?B1BD?1 3?BD?1,DC?2
以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴,
uuur建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,3,0),C1(0,?1,22),AB?(?3,3,0),
uuurBC1?(0,?4,22).显然,平面ABC的法向量n?(0,0,1)
设平面ABC1的法向量为m?(x,y,z),
uuur???m?AB?0??3x?3y?0由?uuu,即, r?????4y?22z?0?m?BC1?0m?(2,2,2)
∴cos?n,m??2, ?n,m??45? 2∴二面角C?AB?C1的大小是45?
错误！未指定书签。．（河北省邯郸市2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）已知四棱锥
P?ABCD中,底面ABCD为菱形,?DAB?60?,PD?底面ABCD,E为AB的中
点.
(1)证明:DC?平面PDE;
(2)若PD?3AD,求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值.
【答案】(1)证明：PD?底面ABCD
?PD?AB
连接DB,在菱形ABCD中，?DAB?60?
??DAB为等边三角形 又E为AB的中点
PD?DE=D
?AB?DE 又?AB?底面PDE AB//CD
?CD?底面PDE
(2)如图，分别以DE,DB,DP所在直线为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系
设AD?a，则PD?3a
?D(0,0,0),B(31a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,3a) 22由(1)知面PDE的法向量DC?(0,a,0). 设面PBC的法向量n?(x,y,z) ??BCn?0则? ??PCn?0又BC=(-31a,a,0)，PC=(0,a,-3a) 22?31-ax+ay=0???2 2?ay-3az=0?令x?1,则y?3,z?1
?n?（，131，）?cos?DC,n??DCn3a15 ??5|DC||n|a?515 5?面PDE与面PBC所成角的余弦值为错误！未指定书签。．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）如图,
三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中点.
(Ⅰ)求证:A1B∥平面AMC1;
(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值;
(Ⅲ)试问:在棱A1B1上是否存在点N,使AN与MC1成角60°?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】证明:(Ⅰ)连接A1C,交AC1于点O,连接OM. ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点. 又∵M为BC中点,
∴OM为△A1BC中位线, ∴A1B∥OM,
∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1, 所以 A1B∥平面AMC1.
解:(Ⅱ)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,
故BA,BC,BB1两两垂直.可建立如图空间直角坐标系B﹣xyz. 设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0). 则
=(1,﹣2,0),
=(2,﹣2,1),
设平面AMC1的法向量为=(x,y,z),则有
,即
所以取y=1,得=(2,1,﹣2). 又∵
=(0,0,1)
∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足