A(2222,0,0),B(?,2,0),M(?,0,0),D(0,0,)
2222(1)由于AD?BM?0,故AD?BM (2)依题意E(?222,,) 4241,0) ∵平面AMD的一个法向量n?(0，设平面AME的一个法向量为
m?(x,y,z),而
AM?(?2,0,0),AE?(?3222,,)?m?AM?0且m?AE?0 424∴?2x?0且?3222x?y?z?0. x=0,取z=2,则y=1 424-1,2) ∴∴m?(0，cos?m,n??m?nm?n??15
二面角E?AM?D的余弦值为5
5
错误！未指定书签。．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）如图所示的
几何体中,四边形PDCE为矩形,ABCD为直 角梯形,
且?BAD = ?ADC 90°,平面PDCE丄平面ABCD,AB=AD=(I)若M为PA的中点,求证:AC//平面MDE;
(II)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小
1CD=1,PD=2 2
【答案】(Ⅰ)证明:连结PC,交DE与N,连结MN,
?PAC中,M,N分别为两腰PA,PC的中点 , ∴MN//AC
因为MN?面MDE,又AC?面MDE,所以AC//平面MDE
(Ⅱ)解:设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为?,以D为空间坐标系的原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0),PB?(1,1,?2),BC?(?1,1,0).
设平面PAD的单位法向量为n1则可设n1?(0,1,0)
设面PBC的法向量n2?(x,y,1),应有
??n2?PB?(x,y,1)?(1,1,?2)?0, ???n2?BC?(x,y,1)?(?1,1,0)?0.即:??x?y?2?0,??x?y?0.
?2x???2,所以n?(2,2,1) 解得:?2222?y???22n?n1cos??12?2?,???60..
22n1n2错误！未指定书签。．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图所
示,四面体ABCD中,AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3.BD=CD=2.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求二面角B—AC—D的余弦值.
【答案】(1)证明 作AH⊥平面BCD于H,连接BH、CH、DH,
易知四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原 点,以DB所在直线为x轴,DC所在直线为y轴, 以垂直于DB,DC的直线为z轴,建立空间直角坐
标系,如图所示,则
B(2,0,0),C(0,2,0),D?0,0,0?A(2,2,1),????????????????????????????????2分 →
所以BC=??2,2,0?,DC=?0,2,0?AC???2,0,?1?,DA??2,2,1?????????????4分 →→
因此BC·DA=?4?4?0,所以AD⊥BC.????????????????????????????????6分 →→
(2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥BC知:n1·BC=?2x?2y?0 →→
同理由n1⊥AC知:n1·AC=?2x?z?0, 可取n1=?1,1，?2?,
同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2??1,0,2?????????????????10分 ∴cos
??n1·n21?430= ?|n1||n2|6?56即二面角B—AC—D的余弦值为
30????????????????????????????????12分 6