2012中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线y??1x?1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点3O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．
(1) 写出点A、B、C、D的坐标；
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 满分解答
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以
?9a?3b?c?0,?a??1,? 解得??c?3,?b?2, ?a?b?c?0.?c?3.??所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么BQ?x2?(3x)2??10x． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：
①当
BQ?10x?3时，?3．解得x??3．所以Q1(3,10)，Q2(?3,?8)． BA10②当
BQ1111?10x1．解得
?时，x??．所以Q3(,2)，Q4(?,0)． ?BA3333310
图图3
考点伸
展
2
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是BQ?x2?(3x)2??10x．
我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．
通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH中，sin?1?1，cos?1?3．
1010①当
BQ?3时，BQ?310． BA在Rt△BQN中，QN?BQ?sin?1?3，BN?BQ?cos?1?9． 当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2(?3,?8)．
②当
BQ1111?时，BQ?10．同理得到Q3(,2)，Q4(?,0)． BA3333例2 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y?k(k?0)在第一象限内x的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝
1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．
思路点拨
1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．
3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答
（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y?整理，得n＝2m．
（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．
已知△BDE的面积为2，所以1)，E(2，2)，B(4，3)．
因为点D（4，1）在反比例函数y?式为y?
?4m?k,k
的图像上，所以? x?2n?k.1，211BD?EH?(m?1)?2?2．解得m＝1．因此D(4，22k的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析x,?3?4k?b4
．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得? 解x.?2?2k?b得k?11，b?1．因此直线AB的函数解析式为y?x?1． 22图2 图3 图4
（3）如图3，因为直线y?1x?1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），2所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：
①如图3，当
EAEF255?时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ?AOFP2FPEAFP25FP?时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． ?AOEF25②如图4，当 考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：
第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y??12，直线AB为xy?1x?7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 22012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)
例3
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，
分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方． 满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?梯形O1A1B1C1的面积S?1211（2） x?x，顶点为M（1，?）
8482(x1?1?x2?1)??s?3(x1?x2)?6，由此得到x1?x2??2．由
23121121于y2?y1?3，所以y2?y1?x2?x2?x1?x1?3．整理，得
8484721??1． (x2?x1)?(x2?x1)???3．因此得到x2?x1?S4??8?x2?x1?14,?x1?6,当S=36时，? 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．
x?x?2.x?8.?21?2（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．