如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
S?定义域为2＜t≤5．
11424?OM?NH?(t?2)?t?t2?t． 22555
图2 图3
②把S＝4代入S?
22424t?t，得t2?t?4．解得t1?2?11，t2?2?11（舍5555去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?2?11．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?以
3，所55?t325?．解得t?． t58如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5．不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t?25或者t?5时，△MON为直角三角形． 8
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值． 如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
例6
已知Rt△ABC中，?ACB?90?，CA?CB，有一个圆心角为45?，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在?ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2?AM2?BN2；
思路点拨：考虑MN2?AM2?BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN?BN，?MDN?90?就可以了．请你完成证明过程．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2?AM2?BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
思路点拨
1．本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM，证明△BCN≌△DCN． 2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明?DCN??BCN．
3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．
满分解答
（1）如图3，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．因此CD?CA，DM?AM，?DCM??ACM，?CDM??A．
又由CA?CB，得 CD?CB．由?DCN??ECF??DCM?45???DCM，?BCN??ACB??ECF??ACM?90??45???ACM?45???ACM，得?DCN??BCN．
又CN?CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN?BN，?CDN??B． 所以?MDN??CDM??CDN??A??B?90?．
在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2?DM2?DN2．即MN2?AM2?BN2．
图3 图4
（2）关系式MN2?AM2?BN2仍然成立．
如图4，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM． 所以CD?CA，DM?AM，?DCM??ACM，?CDM??CAM． 又由CA?CB，得 CD?CB．由?DCN??DCM??ECF??DCM?45?，?BCN??ACB??ACN?90??(?ECF??ACM)?45???ACM，得?DCN??BCN．
?又CN?CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN?BN，?CDN??B?45．
又由于
?CDM??CAM?180???CAB?135?，
所以?MDN??CDM??CDN?135?45?90．
???在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN?DM?DN．即MN2?AM2?BN2． 考点伸展
当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式MN2?AM2?BN2仍然成立．
222
图5 图6 图7
2012中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)
例 1
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?在正比例函数y?3x?3的图像与y轴交于点A，点M43x的图像上，且MO＝MA．二次函数 2y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述
3二次函数的图像上，点D在一次函数y?x?3的图像上，且
4四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1
思路点拨
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．