③如图4，当DO＝DP时，rO?OP?PD?6?5?1． 考点伸展
如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？ 如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为(,0)．
32
因此当点P在x轴上点(,0)的右边时，圆P与圆C外切．
32
图5 图6
2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)
例1
如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ?3AB时，求tan∠CED的值； 4②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
图1
思路点拨
1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题． 2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．
满分解答
（1）设抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?n，代入点C(0，－3)，得n??4．所以抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?4?x2?2x?3．
（2）由y?x2?2x?3?(x?1)(x?3)，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达
?3k?b?0, 解得k?1，b??3．所以
式为y?kx?b，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得??b??3.直线BC的函数表达式为y?x?3．
（3）①因为AB＝4，所以PQ?的横坐标为?3AB?3．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P4117?，点F的坐标为?7?．所以．于是得到点P的坐标为??,?0,?????24??24??755?，EC?2FC?． 442511???，点E的坐标为?0,??． 222??
FC?OC?OF?3?进而得到OE?OC?EC?3?
直线BC:y?x?3与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）． 过点D作DH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△EDH中，DH＝1，EH?OH?OE?2?13DH2?，所以tan∠CED??． 22EH3②P，P2(1?1(1?2,?2)65,?)． 22
图2 图3 图4
例2 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
1x?2；②y?x?2；③y?2x?2；④2y?2x?4和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填
（1）已知直线①y??序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直
线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1
答案
（1）直线①和③是点C的直角线．
（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么＝6或OP＝1．
BCPO2PO，即．解得OP??CPOA7?PO3
如图2，当OP＝6时，l1：y?1x?6， l2：y＝－2x＋6． 21如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：y??x?1．
3
图2 图3
2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)
例 5
如图1，直线y??4 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
3（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．
观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 满分解答
（1）直线y??4x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△3BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
sinB?（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，
所以NH?4，54t． 5如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
S?定义域为0＜t≤2．
11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t． 22555