综上所述，t＝1或
41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．
2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)
例3
如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．
思路点拨
1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．
2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．
3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，
AN35t3?，所以?．解得AM510?2t5t?3060．此时CM?． 3131
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，
OP28OPMP?．所以OP?t． ?，即
4t55QNMN85①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP?8?t，BN?10?5t．
(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8?t?10?5t，得t?851020．此时CM?．
1717(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE?451?8?4BN．解方程?8?t???10?5t?，得t?．此542?5?5时CM?5． 21241BP．解方程?10?5t??52(Ⅲ)当PB＝PN时，BN?因此不存在PB＝PN的情况．
4?8?得t的值为负数，?8?t?，
5?5?②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN?5t?10．解方程8?t?5t?10，得t?
853060．此时CM?． 1111
图5 图6 图7
考点伸展
如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，
例4
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y?14BN?BP，这样计算简便一些． 2512，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此
DCEBm8?x?，即?．整理，得y关于x的函数关CEBFxy系为y??128x?x． mm121x?x??(x?4)2?2．因此当x＝4时，y取得最88(2)如图2，当m＝8时，y??大值为2．
(3) 若y?121812??x2?x．整理，得x2?8x?12?0．解得x＝2或x＝，那么
mmmm1212，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?，得m＝2mm6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入y?（如图4）．
图2 图3 图4