当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）(1?m?4)，那么
S?由于n??例6
111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4． 222125m?m?2，所以S??m2?4m． 22如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝重合），作DE//BC交射线CA于点E.．
3．D为射线BA上的点（点D不与点B10(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图 备用图
思路点拨
1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．
3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．
4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答
（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝所以AH＝
AH3?，AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 22因为DE//BC，所以
ABAC5?，即5?3．于是得到y?x，（x?0）． DBEC3yxDEAEMNANDE|3?x|??，，即，?BCACBCAC53（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以
1|3?x|MN2．因此DE?5|3?x|，圆心距MN?5|6?x|． ?3653
图2 图3 图4
在⊙M中，rM?11511BD?y?x，在⊙N中，rN?CE?x． 22622①当两圆外切时，
5130x?x?5|6?x|．解得x?或者x??10． 62136305(3?x)15，此时DE??． 13313如图5，符合题意的解为x?②当两圆内切时，
51x?x?5|6?x|． 626当x＜6时，解得x?305(x?3)15，如图6，此时E在CA的延长线上，DE??； 7375(x?3)35． ?33当x＞6时，解得x?10，如图7，此时E在CA的延长线上，DE?
图5 图6 图7
（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．
如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．
如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时BF?125． 34
图8 图9 图10 图11
考点伸展
第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．
例 7 如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数
y??tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点
（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得OA2?OB?OC？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝
3，求抛物线F对应的二次函数的解析式． 2
图1
思路点拨
1．数形结合思想，把OA2?OB?OC转化为t2?x1?x2．
2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t＝b．
3．分类讨论tan∠ABO＝
3，按照A、B、C的位置关系分为四种情况．A在y轴正半2轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况． 满分解答
（1）因为平移y??tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为y??t(x?t)2?b．
因为抛物线与x轴有两个交点，因此tb?0．
令y?0，得OB?t?b，OC?t?tb． t所以|OB|?|OC|?|(t?3b)( t?tbbb22222)|?|t? |?t?OA．即t???t．所ttt2以当b?2t时，存在抛物线F使得|OA|?|OB|?|OC|．
（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为y??t(x?t)?t．解得
2x1?t?1,x2?t?1．
①当t?0时，由|OB|?|OC|，得B(t?1,0)．
如图2，当t?1?0时，由tan?ABO?t3|OA|??，解得t?3．此时二次函数|OB|2t?1的解析式为y??3x?18x?24．
2如图3，当t?1?0时，由tan?ABO?t3|OA|3??，解得t?．此时二次2|OB|?t?15函数的解析式为y??321848x＋． x＋525125