练习 四
班级 学号 姓名
x1?x2?3x4?x5?0??x1?x2?2x3?x4?x5?0?1．求齐次线性方程组?的基础解系。
4x?2x?6x?5x?x?012345???2x1?4x2?2x3?4x4?16x5?0
?x1?3x2?3x3?2x4?x5?3?2x?6x?x?3x?2?12342．求非齐次线性方程组?的通解。
?x1?3x2?2x3?x4?x5??1??3x1?9x2?4x3?5x4?x5?5 31
3．已知?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的解，R(A)?2，且
?1??1??2???????201???????1??2?,?2??3?,?3??1?,求该方程组的通解。 ?0???1??2???????12?????3?
4．设?是齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,个基础解系，证明：（1）??,?1,?2,线行无关。
?,?n?r是对应的齐次线性方程组的一
（2）??,????1,????2,,?n?r线行无关；,????n?r 32
练习 五
班级 学号 姓名 1．试判定集合V?(x1,x2,?,xn)x1?x2??xn??1,xi?R?是否构成向量空间？
2．求向量空间R的基?1??1,2,?1,0?,?2??1,?1,1,1?,?3???1,2,1,1?,?4???1,?1,0,1?4到基?1??2,1,0,1,2??0,1,2,?4,?????2?,3???2,1,1,?2
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1,3,1,2?的过渡矩阵和向量的
坐标变换公式。
自测题
一、选择题：
1．设向量组（1）：?1,?：?1,?2等价，则（ A ）。 ?与向量组（2）2,3（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组?1,?2,。 ,?m线性无关，则（ B ）
（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；
（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D?aij?0，则（ A ）。
（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；
（C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A:?1,?2,。 ,?4是一组n维向量，且?1,?2,?3线性相关，则（ D ）
（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设?不能由非零向量?1,?2,（A）?1,?2,
。 ,?s线性表示，则（ D ）
,?s线性相关； （B）?1,?2,34
,?s,?线性相关；
（C）?与某个?i线性相关； （D）?与任一?i都线性无关。 二、填空题：
1．设n维向量?1,?2,?3线性相关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r= 0，1，2 。 2． 向量组?,?,?线性相关的充分必要条件为 秩<3 。
3．设?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3的极大无关组为 ?1,?2 。
4．已知?1??1,3,2,4?,?2??2,6,k,8?线性相关，则k= 4 。
5． 已知向量组?,?,?线性相关，而向量组?,?,?线性无关，则向量组?,?,?的秩为 2 。
??1??1??2??3?三、已知??2??1??2?2?3，证明?1,?2,?3与?1,?2,?3等价。
?????2??3?123?3
?a???2???1??1?????????四、设有向量组A:?1??2?,?2??1?,?2??1?，又向量???b?，试问当a,b,c满
?10??5??4??c?????????足什么条件时，则：
（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式唯一； （2）?不能由?1,?2,?3线性表示；
（3）?可由?1,?2,?3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。
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