南京市高三数学二轮专题复习讲义
解：tanα?π417<1，tanβ?π413且α，β为锐角，所以 <1，3π4，tan2β?0?α?，0?β?，0?α?2β?2tanβ1?tanβπ42?34 ，tan(α?2β)?tanα?tan2β1?tanα?tan2β???1，所以α?2β?2(3?cos4x)1?cos4x44。
例2．求证：tan2x?cot2x?sinxcosx22。
(sinx?cosx)?2sinxcosx14sin2x222222证明：左边=?cosxsinx22?sinx?cosxsinxcosx22?
1?12sin2x?2 ?8?4sin2x1?cos4x2(1?cos4x)82(3?cosx4) ?=右边，原式得证。
1?cosx41?4?4cos2x1?cos4x2?4?2(1?cos4x)1?cos4x
例3．求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)2的值域。 解：设t?sinx?cosx?2sin(x?π4)?[?2，2]，则原函数可化为
1232y?t?t?1?(t?)?，因为t?[?2，2]，所以
2413当t?2时，ymax?3?2，当t??时，ymin?，
243?所以，函数的值域为y?[，432]。
例4．已知y?asinx?b的最大值为3，最小值为－１，求a，b的值。
?a?b?3?a?2??a?b?3得?得，当a?0时，由??a?b??1b?1a?b??1????a??2， ?b?1?解：当a?0时，由?所以，a??2，b?1。 备用题1．已知tan(α?β)?12，tanβ??17，且α，β?(0，π)，求2α?β的值。
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南京市高三数学二轮专题复习讲义
解：tan(2α?β)?tan[2(α?β)?β]?tan2(α?β)?tanβ1?tan2(α?β)?tanβ， 14又tan2(α?β)?2tan(α?β)1?tan(α?β)2???43，tan(2α?β)?7?1， 411??37133?而tanα?tan[(α?β)?β]?π417tan(α?β)?tanβ1?tan(α?β)?tanβπ2???，α，β?(0，π)，所以
3π40?α?，所以tanβ??，所以?β?π，?π?2α?β?0，所以2α?β??。
备用题2．已知2tan2β?tanα?tanβ，求证：|tan(α?β)|?1。 证明：2tan2β?tanα?tanβ，所以
4tanβ1?tanβ2tanα?2tan2β?tanβ??tanβ?tanβ(3?tanβ)1-tanβ222 ，tanβ(3?tanβ)所以，tan(α?β)?tanα?tanβ1?tanα?tanβ?1?1-tanβ22?tanβ??tanβ2tanβ(1?tanβ)(1?tanβ)222tanβ(3?tanβ)1-tanβ2
?2tanβ1?tanβ22?1?sinβcosβsinβcosβ22?sinβ2
又|sin2β|?1，所以|tan(α?β)|?1。
3sin2α?2sin2β?0，作业1．已知α，β都是锐角，且3sinα?2sinβ?1，求α?2β。
22解：由题意，3sinα?cos2β，sin2α?sin2β，
223所以cos(α?2β)?cosαcos2β?sinαsin2β?cosα3sinα?sinα232sin2α
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南京市高三数学二轮专题复习讲义
2?cosα3sinα?3sinαsinαcosα?0，又因为α，β都是锐角，所以0?α?2β?3π2，
所以，α?2β?
π2。(也可以用sin(α?2β)、tan(α?2β)来求)
作业2．求函数y?sinx?cosx?sinxcosx的值域。
π4解：设t?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]，则sinxcosx?1?t22，
原函数可化为y??t22?t?12??12(t?1)?1
12122当t=1时，ymax?1，当t??2时，ymin??
作业3．求函数f(x)?解：f(x)?3sinx?1sinx?23sinx?1sinx?2?3?7sinx?27?1?2?2，所以，函数值域为y?[??2，1]。
的最大值与最小值。
，当sinx?1时，f(x)max?3???4。
71?2?23，
当sinx??1时，f(x)min?3?
作业4．求证：证明： ?sinβsinα?sin(2α?β)sinα?2cos(α?β)。
sin[(α?β)?α]?2cos(α?β)sinαsinαα)sinα?βsinα[?(??siαn)βsin(2α?β)sinαsinα(?β?2cos(α?β)?)cαo?ssinα
]sinαco?sβ(sαin，
所以，左边=右边，原式得证。
第三课时
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例1．求函数f(x)?53cos2x?单调区间。
解：f(x)?53cos2x? ?3π43sinx?4sinxcosx(2π4?x?7π24并求其)的最小值，
3sinx?4sinxcosx(2π43cxos?2π42π4?x?37π24)
)3?2sinx2?7π24π3π6?3π (2x4s?in3因为?x?，所以
π4?2x?7π?，所以sin(2x?π12)?[，]， 322所以，当2x?24ππ7ππ7π因为y?sin(2x?)在[，]是单调递增的，所以f(x)在[，]上单调递增。
3424424?即x?，时，f(x)的最小值为33?22，
例2．已知函数f(x)?4sin2x?2sin2x?2，x?R。 (1) 求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； (2) 证明：函数f(x)的图像关于直线x??π8对称。
解：f(x)?4sin2x?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sin2x) ?2sinx2?2coxs?22π2xsi?n( 24)(1)所以f(x)的最小正周期T?π，因为x?R， 所以，当2x?π4?2kπ?π2，即x?kπ?3π8时，f(x)最大值为22；
π8(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x??f(?π8?x)?f(?π8π8π8π8?x)成立，
π8π8?x)??x)?π4对称，只要证明对任意x?R，有
因为f(?f(??x)?22sin[2(??x)?22sin[2(??x)?f(?π8]?22sin(?]?22sin(?π2π2?2x)??22cos2x， ?2x)??22cos2x，
π8π4所以f(??x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。
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例3．已知函数f(x)?2cos2x?值范围。
解：f(x)?2cos2x?因为x?[0，]，所以
2ππ6π3sin2x?a，若x?[0，]，且|f(x)|?4，求a的取
2π63sin2x?a?1?cos2x??2x?π6?7π63sin2x?a?2sin(2x??sin(2x?π6)?1，
)?a?1，
，所以?12所以a?f(x)?a?3，而|f(x)|?4，即?4?f(x)?4，
?a??4?a?3?4所以，?，解得：?4?a?1，所以a的取值范围是(?4，1)。
π3例4．已知函数f(x)?2cosxsin(x?(1) 求f(x)的最小正周期；
)?3sinx?sinxcosx。
2(2) 求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值； (3) 若当x?[7π，]时，求f1212π3π?1(1)的值。
3sinx?sinxcosx
2解：f(x)?2cosxsin(x? ?cosxsinx?2? ?sinx)?23cosx?3coxs?23sinx?sinxcosx π2sxin?(2
3)2(1) 由上可知，f(x)得最小正周期为T?π； (2) 当2x?π3?2kπ?ππ2，即x?kπ?5π12，k?Z时，f(x)得最小值为－2；
(3) 因为x?[7πππ3ππ，]，所以?2x??，令2sin(2x?)?1， 12122323ππ?1所以x?，所以f(1)?。
44x3x3x3
备用题1．已知函数f(x)?sincos?3cos2。
(1) 将f(x)写成含Asin(ωx?φ)(ω?0，0<φ?π)的形式，并求其对称中心；
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