南京市高三数学二轮专题复习讲义
????a?cαb?cβαπα所以cosθ1??，又，所以，cosθ2???sin?(0，)θ???cos，?1222|a|?|c|22|b|?|c|又因为
πβππββπβπ ?(，π)，0???，cosθ2?sin?cos(?)，所以θ2??，
2222222222π6β63????????2作业1．已知0为坐标原点，a?R，a是OA?(2cosx，，1)OB?(1，3sin2x?a)，(x?R，????????常数)，若y?OA?OB，
θ1?θ2?，
α2?(β2?π2)?π，所以α?β??2π。
(1)求y关于x的函数解析式f(x)；
(2)若x?[0，]时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。
2????????解：(1)y?OA?OB?2cos2x?3sin2x?a，所以f(x)?2cosx?2π3sin2x?a；
(2)f(x)?2cosx?令2x?π?π，即x?23sin2x?a?cos2x?π3sin2x?a?1?2sin(2x?π6)?a?1
π?[0，]时，f(x)的最大值为3+a，解得a=－1。
6262??????1cosα)，b=(cosβ，sinβ)，b?c?(2cosβ，0)，a?b?，作业2．已知a?(sinα，
2??1a?c?，求cos2(α?β)?tanαcotβ的值。
3???sinβ)?(x，y)?(cosβ?x，sinβ?y)?(2cosβ，0)，解：设c?(x，y)，b?c?(cosβ，??1??1?所以c?(cosβ，?sinβ)，因为a?b?，a?c?，
2315??sinαcosβ?cosαsinβ?sinαcosβ?????212所以?，所以?，所以tanαcotβ?5，
?sinαcosβ?cosαsinβ?1?cosαsinβ?1??3?12?又因为sin(α?β)?12，cos2(α?β)?1?2sin(α?β)?115212，
所以cos2(α?β)?tanαcotβ?。
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??13???作业3．已知向量a?(3， ?1)，b?(，)，c?a?(sin2α?2cosα)b，22????1π?2d?(sin2α)a?(cosα)b，α?(0，)，若c?d，求cosα的值。
42?????????2?222解：由已知得a?b?0，|a|?a?，4|b|?b?，1因为c?d，所以c?d?0，即
?[a?(sinα2??12coαsb)][(42?sαina2?)?α(bcos?，) ]0化简得sin22α?sin2αcosα?2cos2α?0，?(sin2α?2cosα)(sin2α?cosα)?0，因
π为α?(0，)，所以sin2α?cosα，所以sinα?212，cosα?32。
??作业4．设平面内两个向量a?(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，0<α<β<π，
????(1)证明：(a?b)?(a?b)；
????(2)若有|ka?b|?|a?kb|，求β?α(k?0，k?R)的值。
(1)证明：a?b?(cosα?cosβ，sinα?sinβ)，a?b?(cosα?cosβ，sinα?sinβ)，
????????所以(a?b)?(a?b)???1?1?0，所以(a?b)?(a?b)； ??2??2???22?2(2)解：|ka?b|?(ka?b)?ka?2ka?b?b，
???????2?????2222|a?kb|?(a?kb)?a?2ka?b?kb，又因为|ka?b|?|a?kb|，
???????2???2?2???2??22222所以ka?2ka?b?b?a?2ka?b?kb，即(k?1)a?4ka?b?(1?k)b?0，
2????又因为|a|?|b|?1，a?b?cos(α?β)，所以4kcos(α?β)?0，
?k?0，k?R， 所以cos(α?β)?0，又0<α<β<π，则α?β??π2，即β?α?π2。
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第六课时
例1．已知偶函数f(x)?cosθsinx?sin(x?θ)?(tanθ?2)sinx?sinθ的最小值为0，求f(x)的最大值及此时x的集合。
解：f(x)?cosθsinx?sin(x?θ)?(tanθ?2)sinx?sinθ ?sinθcoxs?(θta?n2x)s?inθ，因为f(x)为偶函数，
所以，对x?R，有f(?x)?f(x)，即
sinθcos(?x)?(tanθ?2)sin(?x)?sinθ?sinθcosx?(tanθ?2)sinx?sinθ， ?sin2θ?cos2θ?1?亦即(tanθ?2)sinx?0，所以tanθ?2，由?sinθ，
?tanθ?2??cosθ??2525sinθ?sinθ??????55解得?，此时f(x)?sinθ(cosx?1)， 或?55??cosθ?cosθ????55??当sinθ?255时，f(x)?255(cosx?1)，最大值为0，不合题意，
当sinθ??255时，f(x)??255(cosx?1)，最小值为0，
当cosx??1时，f(x)由最大值
{x|x?2kπ?π，k?Z}。
455，此时自变量x的集合为：
1)B(，1)，且b>0，例2．已知函数f(x)?a?bsinx?ccosx(x?R)的图像过点A(0，，2π又f(x)的最大值为22?1，(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y=f(x)图像经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理
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由。
解：(1)f(x)?a?bsinx?ccosx?a?b?csin(x?φ)(tanφ?22cb)，由题意，可得
?a?c?1?a??1??，解得?b?2，所以f(x)??1?2sinx?2cosx； ?a?b?1??c?222??a?b?c?22?1π(2) f(x)??1?2sinx?2cosx?22sin(x?)?1，将f(x)的图像向上平移1个单位
4ππ得到函数y?22sin(x?)的图像，再向右平移单位得到y?22sinx的图像，故将
44π f(x)的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=g(x)的图像。
4例3．已知函数f(x)?2sinx1?cos2x，
(1)求函数f(x)的定义域、值域、最小正周期； (2)判断函数f(x)奇偶性。
ππ?tanx，x?(2kπ?，2kπ?)?2sinxsinx?22???k?Z，
π3π|cosx|1?cos2x??tanx，x?(2kπ?，2kπ?)??22π2，k?Z}，值域为：R，最小正周期为T?2π；
解：(1)f(x)?定义域：{x|x?kπ?sin(?x)(2) f(?x)?|cos(?x)|??sinx|cosx|??f(x)，且定义域关于原点对称，
所以f(x)为奇函数。 例4．已知a?2，求y?(sinx?a)(cosx?a)的最值。
2解：y?(sinx?a)(cosx?a)?a(sinx?cosx)?sinxcosx?a，
t?122令t?sinx?cosx?[?2，2]，则有sinxcosx?，
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所以y???12(t?a)?212(a?1)，因为a?2a?1222，则
2时，ymax?a?2当t??2时，ymin?a2?，当t?2a?12π6。
)(0?m?1)已
备用题1．设函数f(x)?sinax?3cosax(0?a?1)，g(x)?tan(mx?知函数f(x)，g(x)的最小正周期相同，且f(1)?2g(1)，(1)试确定f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间。 解：f(x)?sinax?周期相同，有
2πa?πm3cosax?2sin(ax?π3)(0?a?1)，由函数f(x)，g(x)的最小正
π3)?2tan(m?π6)，把
，即a=2m，又f(1)?2g(1)，即2sin(a?π3)?tan(m?π6)，
a=2m代入上式，得sin(2m?所以有2sin(m?π6)cos(m?π6)?6，
πcos(m?)6)??22sin(m?π)所以sin(m?若sin(m?π6π6)?0或cos(m?π6π6，
)?0，则有m??kπ,这与0?m?1矛盾， π6π4π6π4若cos(m?π6)??π12π622，则有m??kπ?或m??kπ?，
π12，a?π6于是有m?kπ?或m?kπ?x?π3π35π12(k?Z)，又0?m?1，所以m?π12x?π6)；
，
所以f(x)?2sin((2)由2kπ?π2?π6)，g(x)?tan(π2x??2kπ?，即x?[12k?5，12k?1]，
所以，函数f(x)的单调递增区间为x?[12k?5，12k?1](k?Z)。
备用题2．已知函数f(x)?4msinx?cos2x(x?R)，若函数f(x)的最大值为3，求实数m的值。
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