南京市高三数学二轮专题复习讲义
(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此
时函数f(x)的值域。
122x3322x3322x3π3322
解：(1) f(x)?sin?cos??sin(?)?，
令
2x3?π3?kπ，k?Z得x?3k?122π，(k?Z)，即对称中心为(3k?12π，32)，k?Z
(2)由b=ac，cosx?2
a?c?b2ac3222?2ac?ac2ac2x3π3?12，所以
12?cosx?1，即0?x?π3，此
时
π3?2x3?π3?5π9，所以?sin(?)?1，
所以3?sin(2x3?π3)?32?1?32，即f(x)值域为(3，1+32]。
备用题2．已知函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R，求 (1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？ (2) 求将函数的图像按向量a?(?奇偶性。
解：(1)y?sinx?2sinxcosx?3cosx=?=当2x??π4?2kπ，即x?kπ?π8π822?π8，?2)平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的
2sin(2x?π4)?2，
时，ymax?2?2；
π4)?2的图像向左平移
π8(2)按a?(?，?2)平移，即将函数y?=2sin(2x?单位，再
向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为
y?=2sin[2(x?π8)?π4]?2?2?2sin(2x?π2)?2cos2x，
由2cos2(?x)?2cos2x，所以平移后函数为偶函数。
作业1．已知函数y?且当x?π63sinωxcosωx?cosωx+232，(x?R，ω?R)的最小正周期为π，
时，函数有最小值，(1)求f(x) 的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间。
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解：(1)y?3sinωxcosωx?cosωx+π6232?32sin2ωx?12(1?cos2ωx)?32
?sin(ω2x?ω??1， ?)，由题意1πππ)?1，f()?sin?1，不是最小值。 666πππ当ω??1时，f(x)?sin(?2x?)?1，f()??sin?1，是最小值。
662当ω?1时，f(x)?sin(2x?所以f(x)?sin(?2x?(2)当即
π6π2?2kπ?2x?2π3π6π6?)?1??sin(2x?3π2?2kπ，
π6)?1；
?kπ?x??kπ，k?Z时，函数单调递增。
作业2．已知定义在R上的函数f(x)?asinωx?bcosωx，(a?0，b?0，ω?0)的最小正周期为π，f(x)?2，f()?4π3。(1)写出函数f(x) 的解析式；(2)写出函数f(x) 的
单调递增区间；(3)说明f(x)的图像如何由函数y?2sinx的图像变换而来。 解：(1) f(x)?asinωx?bcosωx?a?bsin(ωx?φ)，tanφ?22ba，由题意，
ππ22ω?2，a?b?2，f(x)?2sin(2x?φ)，代入f()?3，有2sin(2??φ)?3，
44ππ所以φ?,即f(x)?2sin(2x?)；
66πππππ(2) 当??2kπ?2x???2kπ，即x?[kπ?，kπ?]，k?Z，函数单调增；
26236π(3) 将函数y?2sinx的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标
61不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数f(x)的图像。
2作业3．已知2α?β?π，求y?cosβ?6sinα的最值。 解：因为2α?β?π，即β?π?2α，原函数化为
y?cos(π?2α)?6sinα?2sinα?6sinα?1?2(sinα?12
232)?2112，
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当sinα??1时，ymax?7，当sinα?1时，ymin??5。
32作业4．就三角函数f(x)?sinxcosx?除定义域外，请再写出三条。 解：f(x)?sinxcosx?32(sinx?cosx)(sinx?cosx)，x?R的性质，
(sinx?cosx)(sinx?cosx)???sin(2x?π3)
a. 奇偶性：非奇非偶函数； b. 单调性：在[kπ? 在[kπ?π125π12，kπ?，kπ?5π1211π12]，k?Z上为单调增函数， ]，k?Z上为单调减函数；
c. 周期性：最小正周期T?π； d. 值域与最值：值域[?1，1]，当x?kπ?，k?Z时，f(x)取最小值?1，
125π，k?Z时，f(x)取最大值1； 当x?kπ?12πe.对称性：对称轴x?kπ2?5π12，(k?Z)，对称中心(kπ2?π6，0)，(k?Z)。
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第四课时
例1．在?ABC中，角A、B、C满足的方程x2?cosAcosBx?2sin2为两根之积的一半，试判断?ABC的形状。
2解：由条件可知，cosAcosB?sinC2?0的两根之和
C2oscosA，即2c1Bcos??C，因为A?B?C?π，
As?iBn，所以
所以2cAosB?co?s，A1?cB即coAscB?osA=B，即?ABC为等腰三角形。 coAs?(B?，所以) 例
22．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若
22a?c?b?ac，且a:c?(3?1):2，求角C的值。
解：a?c?b?ac，所以cosB?又
asinAcsinC222a?c?b2ac222?12，所以B?2π3π3，所以A?C?2π3，
?，所以2sinA?(3?1)sinC，即2sin(π4?C)?(3?1)sinC，
得tanC?1，所以C?
。
例3．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(1)求sinB的值；
(2)若b?42，且a=c，求?ABC的面积。 解：(1)由正弦定理及
cosCcosB?3a?cbcosCcosB?3a?cb，
，有
cosCcosB?3sinA?sinCsinB，
即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB，所以sin(B?C)?3sinAcosB，
又因为A?B?C?π，sin(B?C)?sinA，所以sinA?3sinAcosB，因为sinA?0，
13所以cosB?，又0?B?π，所以sinB?221?cosB?2223。
(2)在?ABC中，由余弦定理可得a?c?23ac?32，又a?c，
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所以有
S?1243a?32，即a?24，所以?ABC的面积为
12asinB?82。
222acsinB?
coscosA例4．在?ABC中，A、B、C满足A:B:C?1:2:2，求1?cosA?cosB?值。
解：由A:B:C?1:2:2，且A?B?C?π，所以A?36?，B?C?72?，
B的
1?cosA?cosB?cosAcosB?(1?cosB)?cosA(1?cosB)?(1?cosB)(1?cosA) ?2cos2B22sin2A2?(2cos36?sin18?)
?cos36?sin36?cos18?14?sin72?2cos18??1222cos36?sin18??2cos36?sin18?cos18?cos18?12，
所以1?cosA?cosB?cosAcosB?()?2。
备用题1．在?ABC中，A、B、C满足cosB?sinCcosA?0， (1)用tanA表示tanC； (2)求角B的取值范围。
解：(1) 因为A?B?C?π，所以cosB??cos(A?C)，由cosB?sinCcosA?0， cosC?0， 得?cosAcosC?sinAsinC?sinCcosA?0?(1)，易知cosA?0，若cosA?0，则cosB?0，所以A?B?π2，不合题意，
若cosC?0，则sinC?1，所以cosB??cosA?cos(π?A),A?B?π，不合题意，
tanC?对(1)式两边同除以cosAcosC得，?1?tanAtanC?tanA?0，11?tanA；
(2)因为C为?ABC的一个内角，所以sinC?0，则由cosB?sinCcosA?0，
cosB?0，则A为钝角，B为锐角，此时 cosA异号，若cosA?0，知cosB、cosB??sinCcosA??cosA?cos(π?A)，因为B?π?A，A?B?π，不合题意；
cosA?0，则B为钝角， A为锐角， 若cosB?0，则tanB??tan(A?C)??tanA?tanC1?tanAtanCπ2????(tanA?tanA?1)，因为A为锐角，?B?3π42所以tanA?0，所以tanB??1，所以。
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