南京市高三数学二轮专题复习讲义
备用题2．已知A、B、C是?ABC的三个内角，y?tanA2?2，若任意
AB?Csin?cos22A2π2B?C22cosA交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。
证明：因为A、B、C是?ABC的三个内角，A?B?C?π，所以
2cosA2sinB?C??，
y?tanA2?A22 ?tan?AB?CB?CB?C2sin?coscos?cos22222(sinB2cosC?cosBsinC)ABC222， ?tan??tan?tan?tanBC22222coscos22因此任意交换两个角的位置，y的值不变。
cosBb??作业1．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， cosC2a?cA(1) 求角B的大小；(2)若b?13，a?c?4，求a的值。 解：(1)由正弦定理，条件
cosBcosC??b2a?c可化成
cosBcosC??sinB2sinA?sinC，
即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0，得2sinAcosB+sin(B?C)?0， 因为A?B?C?π，所以sin(B?C)?sinA，所以2sinAcosB?sinA?0， 因为sinA?0，所以cosB??12，B为三角形内角，所以B?2π3；
(也可以用余弦定理进行角化边完成)
(2)将b?13，a?c?4，B?222π3代入余弦定理b?a?c?2accosB，得 ，整理得a?4a?3?0，解得a?1或a?3。
222213?a?(4?a)?2a(4?a)cos2π3
作业2．在?ABC中，tanA?tanB?三角形形状。
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3?3tanAtanB，且sinAcosA?34，判断
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解：因为sinAcosA?又因为tanA?tanB?34，则sin2A?32，则A?30?或60?，
tanA?tanB1?tanAtanB??3，
3?3tanAtanB，所以tan(A?B)?所以A?B?120?，若A?30?，则B?90?，tanB无意义， 所以A?60?，B?60?，三角形为正三角形。
作业3．在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan值。
解：因为A、B、C成等差数列，则A?C?120?，B?60?，tan(tanA2?tanC2?3tanA2tanC2?tan(A2?C2)(1?tanA2tanC2A2?C2)?A23，所以 tanC2?3。
A2?tanC2?3tanA2tanC2的
)?3tan作业4．在?ABC中，sinA?cosA??ABC面积。
22，AC?2，AB?3，求tanA的值和三角形
解：由sinA?cosA?所以tanA?tan7π127π1222，得sin(A?π3π4π4)?12，因为0?A?π，A?3)，又因为
π4?5π6，A?7π12，
?tan(?)????(2?sinA?sin?sin(π3?π4)???6?46?42，
S?ABC?12AC?ABsinA?12?2?3?2?3(6?42)
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第五课时
?25???例1．已知向量a?(cosα，， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a?b|?5(1)求cos(α?β)的值；(2)若0?α?π2，?π2?β?0，且sinβ??513，求sinα的值。
??解：(1)因为a?(cosα， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，??所以a?b?(cosα?cosβ， sinα?sinβ)，2525??又因为|a?b|?，所以(cosα?cosβ)2?(sinα?sinβ)2?，
55即2?2cos(α?β)?(2) 0?α?π2，?π245，cos(α?β)?35；
?β?0，0?α?β?π， 35又因为cos(α?β)?sinβ??513，所以 sin(α?β)?121345，
6365，所以cosβ?，所以sinα?sin[(α?β)?β]???。
?????2例2．已知向量a?(2cosα，2sinα)，b=(?sinα， cosα)，x?a?(t?3)b，?????y??ka?b，且x?y?0，
(1)求函数k?f(t)的表达式；
(2)若t?[?1，3]，求f(t)的最大值与最小值。 ????2??2解：(1)a?4，b?1，a?b?0，又x?y?0，
22222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0，
??????????所以k?14t?334t，即k?f(t)?34t?214t?334t；
(2)由(1)可得，令f(t)导数
34?0，解得t??1，列表如下：
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t f(t)导数 f(t) －1 0 极大值 12，f(3)?9(－1，1) － 递减 所以f(t)max?，1 0 极小值 92，f(t)min??(1，3) + 递增 12而f(?1)?122??例3．已知向量a?(m，n，)b?(coωxs，，f(1)??。
ωsxin，其中m，n，ω是常数，且
π??时，函数取得最大值1。 ω?0，x?R，函数y?f(x)?a?b的周期为π，当x?12(1)求函数y?f(x)的解析式； (2)写出y?f(x)的对称轴，并证明之。
??解：(1) f(x)?a?b?mcosωx?nsinωx?2m?nsin(ωx?φ)，(tanφ?222nm)，
由周期为π且最大值为1，所以ω?2，m?n?1，由f(所以f(x)?sin(2x?(2)由(1)知，令2x?f[2(kπ2?π12π3π3)；
π2π6π12)?1，得φ=π3，
?kπ?，(k?Z)，解得对称轴方成为x??x)?sin[2(kπ?π6?x)?π3kπ2?π12，(k?Z)，
π3)?f(x)，
)?x]?f(kπ?π12]???sin(2x?所以x?例
kπ2?，(k?Z)是y?f(x)的对称轴。
??，xco?sn)，(x3，cxoos定s义2函c数
)xin4．已知向量m?(2s，f(x?)laog，a???(m?n?1)( 。1)(1)求函数y?f(x) 的最小正周期； (2)确定函数y?f(x)的单调区间。 解：(1)m?n?23sinxcosx?2cosx?所以f(x)?loga??(m?n?1)??23sin2x?cos2x?1?2sin(2x?π6)?1，
=logaπ6[2sin(2x?π6)]，(a?1)，所以最小正周期为π；
π12，kπ?5π12)，(k?Z)，
(2)令g(x)?2sin(2x?)?0，有x?(kπ?19
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而g(x)在区间x?(kπ?]，(k?Z)上单调递增，
126π5π 在区间x?[kπ?，kπ?)，(k?Z)上单调递减，
612，kπ?ππ所以函数y?f(x)在区间x?(kπ? 在区间x?[kπ?ππ12，kπ?5ππ6]，(k?Z)上单调递增，
)，(k?Z)上单调递减。
612????????????????????5????????????备用题1．已知|AC|?5，|AB|?8，AD?DB，CD?AD?0，(1)求|AB?AC|；
11，kπ?(2)设?BAC?θ，且已知cos(θ?x)?45，?π?x??π4，求sinx。
?????????????5???5|AB|=，且CD?AD?0，解：(1)由已知，|AD|?即CD?AD， 162所以cos?BAC???????????????|AB?AC|?|BC|?12122，由余弦定理
125?8?2?5?8?π3π32?7；
π345π335(2)由(1)，cosθ?而?π?x??π4，θ?2π3?，cos(θ?x)?cos(?x?π12，
π12?x)?，所以sin(?x)??，
，?π12如果0?π3?x?，则sin(π3?x)?sin?sinπ6?12?35，所以sin(π3?x)??， 35此时sinx?sin[(π3?x)?π3]????3?4310。
???sinα)，b?(1?cosβ，sinβ)，c?(1，0)，备用题2．已知向量a?(1?cosα， α?(0，π)，??π??β?(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1?θ2?，求α?β的值。
6απβπαβsin?0，解：α?(0，π)，β?(π，2π)，所以?(0，)，?(，π)，所以cos?0，222222α?β?2222|b|?(1?cosβ)?(sinβ)=2sin， 所以|a|?(1?cosα)?(sinα)=2cos，22?????2α2βa?c?1?cosα?2cos，b?c?1?cosβ?2sin而|c|?1，又因为，
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