（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣∴点C的坐标为（4，0）， ∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．
=4，
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE，
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在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2， 则AD=AC﹣DC=6．
25．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．
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【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，由此可列方程求解． 【解答】解：根据题意，得 2（x+整理，得 x2﹣39x+350=0． 解得 x1=25，x2=14． ∵x=25＞16，
∴x=25不合题意，舍去． ∵x=14＜16，
=
＜16，
×400）+2×
×300+200×80=47200，
∴x=14符合题意． 所以，池长为14米．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得
解得
所以此函数解析式为：y=x2+x﹣4；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m， m2+m﹣4）， ∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB
=×4×（m2+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m =﹣（m+2）2+4，
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∵﹣4＜m＜0，
当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4． 答：m=﹣2时S有最大值S=4． （3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点， ∴设点Q的坐标为（a，﹣a）， ∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴， ∴点P的坐标为（a， a2+a﹣4）， ∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4， 又∵OB=0﹣（﹣4）=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形， ∴|PQ|=OB，
即|﹣a2﹣2a+4|=4，
①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0， 解得a=0（舍去）或a=﹣4， ﹣a=4，
所以点Q坐标为（﹣4，4），
②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0， 解得a=﹣2±2
，
，2﹣2
）或（﹣2﹣2
，2﹣2
，2+2
）．
，2+2
）
所以点Q的坐标为（﹣2+2
综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2）或（﹣2﹣2
时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．
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2017年2月9日
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