考点：因式分解的应用。
分析：结合图象，长方形中长为x﹣2a，寛为y﹣2a，即可求得面积表达公式，圆中可用大圆面积减去小圆面积即得结果．
解答：解：由图象可得阴影的长方形长可用x﹣2a表示，寛为y﹣2a，可得面积表达公式为（x﹣2a）（y﹣2a）； 阴影部分的环形面积可用大圆面积减去小圆面积，大圆面积为πR，小圆面积为πr， 可得阴影部分面积为π（R+r）（R﹣r）．
点评：本题考查因式分解的应用，与图象结合，观察好即可．
55．观察下列式子：1×8+1=9=3；3×16+1=49=7；7×32+1=225=15；…你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？ 考点：因式分解的应用。 专题：规律型。
分析：式子可以整理为：（2﹣1）×2
22+232（2﹣1）×2+1=（2﹣1）；
33+242（2﹣1）×2+1=（2﹣1）； …
1
1+22
2
22
2
+1=（2﹣1）；
22
得到第n个式子的结论即可．
nn+2n+12
解答：解：（2﹣1）?2+1=（2﹣1）．
nn+22n+2n+2n+12n+1n+12（2﹣1）?2+1=2﹣2+1=（2）﹣2×2+1=（2﹣1）．
点评：找规律的题目应从相对应的位置上的数入手，找到其相同之处和规律性．
56．先分解因式，再求值：已知a+b=2，ab=2，求ab+ab+ab的值． 考点：因式分解的应用。
分析：先把ab+ab+ab提公因式ab，再运用完全平方和公式分解因式，最后整体代入求值．
解答：解：ab+ab+ab=ab（a+2ab+b）=ab（a+b）． ∴当a+b=2，ab=2时， 原式=×2×4=4．
点评：化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．
3
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3
2
2
2
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22
3
57．若a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，求代数式a（﹣b﹣c）﹣3.2a（c+b）的值． 考点：因式分解的应用。
分析：由a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，可得b+c=﹣0.2，然后代入求值即可． 解答：解：∵a=﹣5，a+b+c=﹣5.2 ∴b+c=﹣0.2
2
∴原式=（﹣5）×0.2﹣3.2×（﹣5）×（﹣0.2）=5﹣3.2=1.8．
点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
58．用简便方法计算：
22
（1）1.2345+0.7655+0.469×0.7655
2
（2）123456789﹣123456788×123456790 考点：因式分解的应用。 专题：因式分解。 分析：（1）后2个式子可提取出0.7655，进而提取1.2345，计算即可； （2）把被减数整理为用123456789表示成平方差的形式，化简即可． 解答：（1）解：原式=1.2345+0.7655（0.7655+0.469）
2
=1.2345+0.7655×1.2345 =1.2345×（1.2345+0.7655） =1.2345×2 =2.469；
（2）解：原式=123456789﹣（123456789﹣1）
222
=123456789﹣123456789+1， =1．
点评：考查用简便方法进行有理数运算；注意提公因式法和整式乘法中的平方差公式的运用．
59．已知x+y=1，xy=
，求xy﹣2xy+xy的值．
3
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2
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2
2
考点：因式分解的应用。
分析：先对多项式xy﹣2xy+xy进行因式分解，转化成x+y和xy的形式，然后把x+y=1，xy=整体代入，即可求出其值．
32232222
解答：解：xy﹣2xy+xy=xy（x﹣2xy+y）=xy（x﹣y）=xy[（x+y）﹣4xy] 把x+y=1，xy=原式=
（1﹣4×
代入 ）=
×（1﹣）=
×=
．
3
22
3
点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误
选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式
3223
的要先提取公因式．本题应先将所求代数式xy﹣2xy+xy转化成x+y和xy的形式，然后整体代入求出其值．
60．证明：当x，y为实数，且x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。
分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明． 解答：解：∵x+y=1
∴x+y﹣xy=（x+y）（x+y﹣xy）﹣xy=x+y﹣2xy=（x﹣y）≥0
33
即x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
2
6 1．若a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，求代数式a（﹣b﹣c）﹣3.2a（c+b）的值． 考点：因式分解的应用。
分析：由a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，可得b+c=﹣0.2，然后代入求值即可． 解答：解：∵a=﹣5，a+b+c=﹣5.2 ∴b+c=﹣0.2
2
∴原式=（﹣5）×0.2﹣3.2×（﹣5）×（﹣0.2）=5﹣3.2=1.8．
点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
62．分解因式x+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分
2
解的结果是（x﹣2）?（x+1），那么x+ax+b分解因式的正确结果为多少？ 考点：因式分解的应用。
2
分析：根据x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式． 解答：解：因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1）， 所以b=﹣6，
又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1）， 所以a=﹣1．所以x+ax+b=x﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．
点评：主要考查了二次三项式的分解因式．掌握此类式子的特点可以使计算简便．
64．证明：当n为正整数时，n﹣n的值，必是6的倍数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。
分析：此题首先要能对多项式进行因式分解，然后结合n为正整数进行分析．
32
解答：证明：n﹣n=n（n﹣1）=n（n+1）（n﹣1），
当n为正整数时，n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，其中必有一个为偶数，必有一个为3的倍数，
故必是2×3=6的倍数．
点评：注意了解三个连续正整数的特点．
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65．利用因式分解计算：
（1）341﹣159（2）225﹣15×26+13 考点：因式分解的应用。 分析：（1）直接利用平方差公式因式分解，进行简化计算；（2）利用完全平方公式进行因式分解来简化计算． 解答：解：
（1）341﹣159=（341+159）（341﹣159）=500×182=91000；
（2）225﹣15×26+13=15﹣15×13×2+13=（15﹣13）=4．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．
66．已知a+a+1=0，求1+a+a+…+a的值．
考点：因式分解的应用；因式分解-分组分解法。 专题：规律型。
分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．
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解答：解：原式=（1+a+a）+a（1+a+a）+a（1+a+a），
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=（1+a+a）（1+a+a）， 2
∵a+a+1=0，
36
∴原式=0×（1+a+a）=0． 故答案为：0．
2
点评：本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，分组后，提取公因式把原式化为含a+a+1的式子是求解本题的关键．
67．先分解因式，再求值：a﹣2ab+ab，其中a=4，b=﹣1． 考点：因式分解的应用。
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分析：a﹣2ab+ab有公因式a，提取后，再按完全平方公式分解，直至分解完为止，最后代入求值．
解答：解：原式=a（a﹣2ab+b）=a（a﹣b）， 当a=4，b=﹣1时，
22
原式=4（4+1）=16×25=400．
点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，使运算简便．
68．证明：当x，y为实数，且x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。
分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明． 解答：解：∵x+y=1
∴x+y﹣xy=（x+y）（x+y﹣xy）﹣xy=x+y﹣2xy=（x﹣y）≥0
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即x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数．
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点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
69．先分解因式，再求值：
，其中
，y=5．
考点：因式分解的应用。
分析：把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后把x，y的值代入即可． 解答：解：∵
∴x+y=∴原式=
，y=5
=
=5．
=
=
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
70．已知m+n=3，
，求mn﹣mn+mn的值．
3
22
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考点：因式分解的应用。
分析：把所求代数式提公因式mn，然后整理为与（m+n）和mn相关的式子，代入求值即可． 解答：解：mn﹣mn+mn，
22
=mn（m﹣mn+n），
22
=mn[（m+2mn+n）﹣3mn]，
2
=mn[（m+n）﹣3mn]， 当m+n=3，
时，原式=
=
．
3
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3
点评：本题考查了提公因式法、利用完全平方公式分解因式，关键是把所求代数式整理为和所给等式相关的式子．
71．已知a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）的值． 考点：因式分解的应用；代数式求值。 专题：因式分解。
222222222
分析：观察ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）即ab+ba+cb+ac+bc+ca是（a+b+c）与（a+b+c）
333222222333222
乘积（a+b+c+ab+ba+cb+ac+bc+ca）的一部分，且a+b+c=45，（a+b+c）（a+b+c）=3×29=87
至此问题解决．
222333
解答：解：∵a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45
222
∴（a+b+c）（a+b+c）=3×29=87 333222222
a+b+c+ab+ba+cb+ac+bc+ca=87 333
（a+b+c）+ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=87
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3
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