则展开上式得6mx+（6n﹣7m）x﹣（7n+3m）x﹣3n，
32
将上式与多项式ax+bx﹣47x﹣15对比得
32
，
解得n=5，m=4，b=2，a=12，
所以a=24，b=2，另外的因式为4x+5．
点评：本题考查因式分解的应用．本题利用待定系数法来解决，同学们要明白两式关于x的各次项系数对应相等．
97．计算：（1）100﹣（252﹣248）；（2）39.8﹣2×39.8×49.8+49.8 考点：因式分解的应用。 分析：（1）把括号内的两个数用平方差公式展开计算即可； （2）用完全平方公式展开计算即可．
解答：解：（1）原式=100﹣（252+248）（252﹣248）=10000﹣500×4=8000；
2
（2）原式=（39.8﹣49.8）=100．
22222
点评：用到的知识点为：a﹣b=（a+b）（a﹣b）；a﹣2ab+b=（a﹣b）．
98．已知：a、b、c分别为△ABC的三条边的长度，请用所学知识说明：（a﹣c）﹣b是正数、负数或零．
考点：因式分解的应用；三角形三边关系。
分析：根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合因式分解进行证明原式为负数．
解答：解：∵a、b、c分别为△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，
即a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．
22
∴（a﹣c）﹣b=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0
22
∴（a﹣c）﹣b是负数．
点评：本题利用了平方差公式和三角形三边的关系进行分析．
99．活动材料：若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片．
2
2
2
2
2
2
2
2
例如：
在下图中，一些长方形和正方形硬纸片拼成一个长方形后，通过计算图形的面积我们有a+3ab+2b=（a+2b）（a+b）试用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：3a+7ab+2b 活动要求：
2
2
2
2
（1）画出图形；
（2）写出分解的因式．
考点：因式分解的应用。 专题：图表型。
22
分析：结合所给特例进行分析：要对二次三项式3a+7ab+2b进行因式分解，则拼图的长方形的一边为3a+b，另一边为2a+b． 解答：解：（1）
（2）3a+7ab+2b=（3a+b）（a+2b）．
点评：本题考查了十字相乘法分解因式，注意一个二次三项式分解时，要把两个平方项分解成积的形式，再让交叉相乘积的和等于一次项系数．
100．计算：
考点：因式分解的应用。 专题：规律型。 分析：观察
4
2
2
分式
发现均遵循x+324因而将其分解因式． 套用此规律，通过分子、分母约分得到最终结果．
4422222=22
解答：解：∵x+324=x+36x+324﹣36x=（x+18）﹣36x（x+6x+18）（x﹣6x+18）=[x（x+6）+18][x（x﹣6）+18]
∴原式=
=
=373．
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是找到本题中蕴含的规律x+324=[x（x+6）+18][x（x﹣6）+18]，以降低计算的工作量．
101．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006， 求：这个长方体的体积． 考点：因式分解的应用。
分析：我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．
解答：解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006， a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006， （1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007， （1+b）（c+1+a+ac）=2007， （1+b）（c+1）（a+1）=2007， 2007只能分解为3×3×223 ∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223 ∴a、b、c也只能分别为2、2、222 ∴长方体的体积abc=888．
点评：本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．
102．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 考点：因式分解的应用；勾股定理的逆定理。 专题：数形结合。
分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为
．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，
4
判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°
解答：解法1：将①②两式相乘，得
，
即，
即，
即，
即即即即即
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0， 即b+a=c或c+a=b或c+b=a． 因此，以
为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
，
③
2
2
2
2
，
，
， ，
，
解法2：结合①式，由②式可得变形，得
又由①式得（a+b+c）=1024，即a+b+c=1024﹣2（ab+bc+ca）， 代入③式，得
，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）
33
﹣16=﹣4096+256×32﹣16=0， 所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．
103．三项式x﹣x﹣2n能分解为两个整系数一次因式的乘积 （1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？ （2）当n≤2005时，求最大整数n 考点：因式分解的应用。 专题：规律型；探究型。
2
分析：（1）利用公式法求出x﹣x﹣2n=0的根，将n从1至30代入开平方验证，舍去不合题意得，得到最终n的取值及个数．
（2）观察数列1，3，6，10，15，21，28，寻找规律，将基本规律的代数式代入求值． 解答：解： （1）x﹣x﹣2n=
2
2
（3分）
则应有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分） 相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去） 故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分） （2）观察数列1，3，6，10，发现 1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4 故n=1+2+3+…+k≤2005 ∴
≤2005
验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）
点评：本题考查因式分解的应用．解决（1）主要是通过公式法分解出因式，再将符合条件的n代入逐个验证；（2）关键是观察数列找到规律．
104．问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 =（200﹣5）（200+5）①
22
=200﹣5② =39975
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 平方差公式 （填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：9×11×101×10001．
222
问题2：对于形如x+2ax+a这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）的形式．但
222
对于二次三项式x+2ax﹣3a，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x+2ax
2222
﹣3a中先加上一项a，使它与x+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a，整个式子的值不变，于是有： 222222x+2ax﹣3a=（x+2ax+a）﹣a﹣3a
22
=（x+a）﹣（2a） =（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．