第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
【考试要求】
1．函数
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 （3）了解简单的分段函数，并能简单应用。
（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 （5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2．指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景。
（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 （4）知道指数函数是一类重要的函数模型。 3．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。
（4）了解指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（a?0,且a?1）。 4．幂函数
（1）了解幂函数的概念
11（2）结合函数y?x,y?x,y?x,y?,y?x2的图象了解它们的变化情况。
x23x【核心要点突破】
要点考向一：基本初等函数问题
考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。
2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．一元二次、二次函数及指数，对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。
2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。 高考真题解析
1．（2010年高考四川卷理科3）2log510＋log50.25＝ （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C
w （（ ）
22，（2010·天津高考文科·Ｔ6）设a?log54，b?（log53），c?log45，则（ ）
(A)a
c?log45?1。
【规范解答】选D，由对数函数y?log5x的图像，可得0?log53?log54?1，
2b?(log3)?log54，又c?log45?1,?b?a?c。 ?5
【方法技巧】比较对数函数值的大小问题，要特别注意分清底数是否相同，如果底数相同，直接利用函数
的单调性即可比较大小；如果底数不同，不仅要利用函数的单调性，还要借助中间量比较大小。 3.（2011安徽文5）若点(a,b)在y?lgx 图像上，a??,则下列点也在此图像上的是
???（A）（a，b） (B) (10a,1?b) (C) (a,b+1) (D)(a2,2b)
【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.
?x2?1,x?024. （2010·江苏高考·Ｔ11）已知函数f(x)??,则满足不等式f(1?x)?f(2x)的x的取值范
x?0?1,围是_____。
【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。
?x2?1,x?022【思路点拨】结合函数f(x)??的图像以及f(1?x)?f(2x)的条件，可以得出1?x与2xx?0?1,之间的大小关系，进而求解x的取值范围.
Y 1 ?x2?1,x?0【规范解答】画出f(x)??,的图象，
x?0?1,由图像可知，若f(1?x2)?f(2x)，
?1?x?1??1?x2?0?则?，即?，得x?(?1,2?1) 21?x?2x????1?2?x??1?2【答案】(?1,2?1)
5. （2010·全国Ⅰ理科·Ｔ8）设a?log32，b?ln2 ，c?5A a
【思路点拨】利用换底公式，将a?log32，b?ln2变成以2为底的对数.根据对数函数 和指数函数的图像进行分析. 【规范解答】选C. a=log32=
12?12,则（ ）
11, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a
x22f(x)?e?1??1g(x)??x?4x?3??(x?2)?1?1，若有f(a)?g(b),则【解析】由题可知，
g(b)?(?1,1]，即?b2?4b?3??1，解得2?2?b?2?2。
f(x)?7.（2011江西文3）若
1log1(2x?1)2，则f(x)的定义域为( )
1111(?,0)(?,??)(?,0)?(0,??)(?,2)2 B.2 C.2 D.2
【答案】C 【解析】
log1?2x?1??0,?2x?1?0,2x?1?12?1??x???,0???0,????2?
要点考向二：函数与映射概念的应用问题
考情聚焦：1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。
2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题，属低、中档题。 考向链接：1.求函数定义域的类型和相应方法。
2.求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，面对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。
3.求函数的解析式，常见命题规律是：先给出一定的条件确定函数的解析式，再研究函数的有关性质；解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。
4.映射个数的计算一般要分类计数。 高考真题解析
?log2x,x?0,?1，（2010·天津高考理科·Ｔ8）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围
1??2是 ( )
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 【命题立意】考查对数函数的图像和性质。
【思路点拨】对a进行讨论，通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a的范围。
【规范解答】选C，当a>0，即-a<0时，由f(a)>f(-a)知log2a?log1a，在同一个坐标系中画出y?log2x2和y?log1x函数的图像，由图像可得a>1；当a<0,即-a>0时，同理可得-1
2范围是（-1，0）∪（1,+∞）。
?2.（2011辽宁理11）函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f(x)?2，则f(x)?2x?4的
解集为
A．（?1，1） B．（?1，+?） C．（??，?1） D．（??，+?） 【答案】B 3．（ 2010年高考全国卷I理科10）已知函数F(x)=|lgx|,若0
5.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易
忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?处.
2?22,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之a12，所以a+2b=a? aa【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+
2,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上为减函数，所a2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 14．（2010年高考广东卷理科3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 【答案】D
【解析】f(?x)?3?x?3x?f(x),g(?x)?3?x?3x??g(x)．
5. (2010年全国高考宁夏卷8）设偶函数f(x)满足f(x)?x3?8(x?0)，则{x|f(x?2)?0}? (A) {x|x??2或x?4} (C) {x|x?0或x?6} 【答案】B
解析：当x?0时，f(x)?x3?8?0?x?2，又由于函数是偶函数，所以x?R时，f(x)?0的解集为
(B) {x|x?0或x?4} (D) {x|x??2或x?2}
{xx??2或x?2}，故f(x?2)?0的解集为{xx?0或x?4}．
另解：根据已知条件和幂函数y?x3的图像易知f(x)?x3?8?0的解集为{xx??2或x?2}，故
f(x?2)?0的解集为{xx?0或x?4}．
0x?10,?|lgx|,??6. (2010年全国高考宁夏卷11）已知函数f(x)??1若a,b,c互不相等，且
?x?6,x?10.??2f(a)?f(b)?f(c),则abc的取值范围是
(A) (1,10) 【答案】C
11?1解析：不妨设a?b?c，取特例，如取f(a)?f(b)?f(c)?，则易得a?102,b?102,c?11，从而
2(B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)
abc?11，选C．
另解：不妨设a?b?c，则由f(a)?f(b)?ab?1，再根据图像易得10?c?12，故选C．