（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。 （2）将船的速度v2沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如下图，v1为水流速度，则
v1?v2cos?为船实际上沿水流方向的运动速度，v2sin?为船垂直于河岸方向的运动速度。
v2θdv1 问题1：渡河位移最短 河宽d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽d呢？下面就这个问题进行如下讨论： （1）v船?v水 要使渡河位移最小为河宽d，只有使船垂直横渡，则应v水?v船cos??0，即v船?v水，因此只有v船?v水，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽d。渡河时间
t?dd?v合v船sin?。
（2）v船?v水
由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。 以水流速度的末端A为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O点作该圆的切线，交圆于B点，此时让船速与半径AB平行，如下所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
sv水?由相似三角形知识可得dv船
s?解得
v水v船d
渡河时间仍可以采用上面的方法
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t?sd?v合v船sin?
（3）v船?v水
此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。
问题2：渡河时间最短；
渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，
t?渡河时间最短，即【巩固练习题】
dv船。
例1、一只小船在静水中的速度大小始终为5m/s，在流速为3m/s的河中航行，则河岸上的人能看到船的实际航速大小可能是 BC
A．1m/s B．3m/s C．8m/s D．10m/s
例2、（09·广东理科基础）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正
对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（ C ）
例3、船在静水中的速度为υ，流水的速度为u，河宽为L。
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（1）为使渡河时间最短，应向什么方向划船？此时渡河所经历的时间和所通过的路程
各为多大？
（2）为使渡河通过的路程最短，应向什么方向划船？比时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？
小专题四：绳子末端速度的如何分解
对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。 【巩固练习题】
例1、 如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ） A.绳的拉力大于A的重力 B.绳的拉力等于A的重力
v'C.绳的拉力小于A的重力
θD.拉力先大于重力，后变为小于重力
m例2、如图，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿Mv斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成?角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？
二、平抛运动
（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作
用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2）．平抛运动的处理方法
通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是
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水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)．平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点，水平初速度V0方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.
①位移
分位移x?V0t, y?121gtgt,合位移s?(V0t)2?(gt2)2,tan??. 22V02?为合位移与x轴夹角.
②速度
分速度Vx?V0, Vy=gt, 合速度V?V0?(gt),tan??22gt. V0?为合速度V与x轴夹角
(4)．平抛运动的性质
做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 （5）平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt. ②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点
v0 s/ 到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 α 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分
h vs 量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan??y?2h， 所以有
α vvxshss???
tan?2vv
③平抛物体任意时刻瞬时时速度方向与水平方向的夹角的正切值是此时刻位移与水平方向的夹角的正切值的两倍。 【巩固练习题】
例1、从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出．第一次初速度为v1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v1＞v2，则（ ） A．α1＞α2 B．α1=α2 C．α1＜α2 D、无法确定 例2、如图所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球。小球 的初速度为υ0，最后小球落在斜面上的N点,下列判断中错误
的是 ( ) A．可求出M、N之间的距离
B．不可以求出小球什么时刻与斜面间的距离最大 C．可求出小球运动的时间
D．可求小球落到N点时的速度大小和方向
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例3、如图示，在高h处有个小球A，以速度v1水平抛出，与此同时，地面上有个小球B，以速度v2竖直向上抛出，两小球在空中相遇，则（ ） A、到相遇所需的时间为h/v1 B、出到相遇所需的时间为h/v2 C、抛出时的水平距离为hv1/v2 AD、出到相遇所需的时间为h
例4、如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2 的关系应满足( ) A.1
BCHsHv = v2 B.v1 = v2 C.v1 = v2 D.v1 = v2 sHS例5、如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中位
置（不计空气阻力），相关数据如图，下列说法中正确的是（ ） A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1 =1.8h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于s2gh1，一定落在对方界内 h1C．任意降低击球高度（仍大于h2），只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
h1
h2 ss
2例6、如图，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角?为30?的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ C ） 323ss33A. B. C. 3s D. 2s v0 例7、如图，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、B间的水平距离和B、C间的水平距离都是15cm，AB间的竖直距离是15cm，BC间的竖直距离是25cm。若取g?10m/s，则小球平抛的初速度v0等于多少？ 第 10 页 共 27 页 2θ