例8、如图所示，AB为半环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从
A点以速度v0被水平抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，v0为多大？
（2）若v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角就不同。
同学甲认为，总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环。 同学乙认为，无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环。
你认为哪位同学的分析正确？如认为甲同学正确，求出相应的v0值；如认为乙同学正确，说明理由。
A v0 B C
三、圆周运动
●描述圆周运动的物理量
1.线速度
（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.
（2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向，与过该点的半径垂直.
（3）大小：v=s/t（s是t时间内通过的弧长）. 2.角速度
（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢. （2）大小：ω=?/t（rad/s），?是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度.
3.周期T，频率f
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速. 4.v、ω、T、f的关系 1T=
fω=v=
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2π=2πf T2πr=2πfr=ωr T
注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了. 5.向心加速度
（1）物理意义：描述线速度改变的快慢.
4π2v2222
（2）大小：a==ωr=4πf r=2r.
rT（3）方向：总是指向圆心.所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量. 6.向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，因此，向心力不做功.
4π2v22
（2）大小：F=ma=m=mωr=m2r=4π2mf 2r.
rT（3）方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力. ●匀速圆周运动
1.特点：匀速圆周运动是线速度大小不变的运动.因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的.物体受的合外力全部提供向心力.
2.质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直.
小专题一：同轴传动和同链传动（同皮带传动）
特点：共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等，这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的运动学特点联系在一起。 【巩固练习题】 例1、 如图所示，a、b两轮靠皮带传动，A、B分别为两轮边缘上的点，C与A同在a轮上，已知rA?2rB，OC?rB，在传动时，皮带不打滑。求：（1）?C:?B? ；（2）vC:vB? ；（3）aC:aB? 。 例2、 在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A、B两点，如图所示，过A、B的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A、B两点的线速度之比为 ；A向心加速度之比为 。 B 小专题二：向心力的来源 物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力 COrAarBbv22?F合?F向?ma向?m?mr?2?mr()2rT 且有方向始终指向圆心 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力.向心力是按力的作用效果来命名的.对各种情况下向心力的来源应明确.如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体（甲）和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆（乙）和以规定速率转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力. 第 12 页 共 27 页 ωA30°60°OB
【巩固练习题】
例1、一圆盘可绕圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）
A. 木块A受重力、支持力和向心力
vB. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方G向相反
FTC. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心 D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
例2、一质量为m的小物块，沿半径为R的圆形轨道下滑，滑到最低点的速率为v，若小物块与轨道的动摩擦因数为μ，则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力是（重力加速度为g）（ ）
A．?mg
v2B．?m C
R．
v2?m(g?)ROA
v2) D．?m(g?R例3、早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其质量（即：列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻.”后来，人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”.如图所示，我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M的列车，正在以速率v沿水平轨道匀速向东行驶.已知：（1）地球的半径R；（2）地球的自转周期T.今天我们像厄缶一样，如果仅仅考虑地球的自转影响（火车随地球做线速度为
2πR的圆周运动）时，火车对轨道的压力为N；在此基础上，又考虑到这列火车相对地面T又附加了一个线速度v，做更快的匀速圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为N?.那么，单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道的压力减轻的数量（N－N?）为（ ）
v??地球大圆R v R2πC.M（）v
TA.M
2
2πv+2（）v］
TR2πv2D.M［+（）v］
TRB.M［
2小专题三：圆周运动的临界问题
第一种情况：无支撑物的情况
例如：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。
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1. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部
分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对
v2(mg?FT?m)r 应的拉力。
2. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。
2mv0(G?,v0?gr)r
3. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。
因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为v0?第二种情况：有支撑物的情况
gr。
1临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 ○
v临界＝0
2图甲所示的小球过最高○
力的情况：
当v＝0时，轻杆对小球有其大小等于小球的重力，即
点时，轻杆对小球的弹竖直向上的支持力FN，
FN＝mg.
当0
当v=rg时，FN＝0.
当v＞rg时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大. 3图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况： ○
v＝0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即
FN =mg.
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当0＜v＜rg时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg > FN > 0.
当v＝rg时，FN＝0.
当v>rg时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.
【巩固练习题】
例1、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球—初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
例2、如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ） A．小球能够通过最高点时的最小速度为0 B．小球能够通过最高点时的最小速度为gR
C．如果小球在最高点时的速度大小为2gR，则此时小球对管 道的外壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力 例3、如图所示，一个
3圆弧形光滑细圆管轨道4
ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高， MN 是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管
直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？
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