第二章
?002.1（曾海斌）物体上某点的应力张量ζij为ζij=????001001003??1003（应力单位） ?100??0求出：
（a）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=（1/2，1/2，1/2）； （b）应力主轴的方位；
（c）主应力的大小；
（d）八面体应力的大小； （e）最大剪应力的大小。
解答：
(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量Ti，得
T1=ζ
nn1j
nj=ζ11n1+ζ12n2 +ζ13n3 = 0 ;同样 T2= jnj =272.47 T3=ζ3jnj
nnn=157.31
所以，应力矢量T的大小为
nT?[(T1 ) +(T2 )+(T3)2]1/2=314.62
n2
n2
n
(b)(c)特征方程：ζ3—I1ζ2 + I2ζ—I3=0
其中I1 =ζij 的对角项之和、I2 =ζij 的对角项余子式之和、I3 =ζij的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I1 =ζ1+ζ2+ζ3 I2=ζ1ζ2+ζ2ζ3+ζ3ζ1 I3=ζ1ζ2ζ3
其中得，ζ1=400、ζ2=ζ3=0 是特征方程的根。 将ζ1、ζ2和ζ3分别代入（2.43），并使用恒等式n12+ n22 + n32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）： ni（1）=（0， ±0.866，±0.5） ni（2）=（0， ?0.5，±0.866） （3）
ni=（±1， 0，0）
注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d）由式（2.96），可算
ζotc=1/3（0+100+300）=133.3
ηotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56
(e) 已经求得ζ1=400、ζ2=ζ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为ηmax=200
2.2（曾海斌）对于给定的应力张量ζij，求出主应力以及它们相应的主方向。
?3/2?ζij=??1/(22)??1/(22)??1/(22)11/4?5/4?1/(22)???5/4?（应力单位） 11/4??（a）从给定的ζij和从主应力值ζ1，ζ2和ζ3中确定应力不变量I1，I2和I3； （b）求出偏应力张量Sij；
（c）确定偏应力不变量J1，J2和J3； （d）求出八面体正应力与剪应力。 解答：同上题2.1（a）（b）（c）方法得到ζ1=4、ζ2= 2 、ζ3=1 对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）： ni
（1）
=（0， ?1212，±
12）
ni（2）=（±， ?0.5，?0.5）
ni（3）=（±
12， ±0.5，±0.5）
（a）特征方程：ζ3—I1ζ2 + I2ζ—I3=0
中I1 =ζij 的对角项之和、I2 =ζij 的对角项余子式之和、I3 =ζij的行列式。 代入数据的：I1 =7；I2 =14；I3 =8
（b）偏应力张量由式子（2.119）得出Sij=ζ12-pδij ，其中p=7/3
??5/6?Sij=??1/(22)??1/(22)??1/(22)5/12?5/4?1/(22)???5/4?- 5/12??
(c)J1= Sii=0，J2=1/6[4+1+9]=2.333, J3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741
(d) ζotc=1/3*7=2.333 η
2.3（李云雷）（a）解释：如果S1?S2?S3,能得出S3?0吗？ （b）解释：J2可以为负值吗？ （c）解释：J3 可以为正值吗？ 解：
（a）不能，因为S1?S2?S3?0,所以S3不能等于0.
otc
2 1/2
= 2/3(I1-3 I2)=1.247
（b）因为J2?16[(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)]，所以J2不可能为负值。
222 （c）可以，当S1,S2,S3中有一个正数，两个负数时J3为正值。
2.7 （金晶）证明以下关系
J2?（a）证明：
13I1?I2
2I1??1??2??3I2??1?2??1?3??3?2I1?(?1??2??3)?(?1??2)??3?2?3(?1??2)??1??2??3?2?1?2?2?1?3?2?3?213?I?I2?1221222222213(?1??2??3?2?1?2?2?1?3?2?3?2)??1?2??1?3??3?222222(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)331613[(?1??2)?(?1??3)?(?3??2)]?I1?I222221?J2??J2?
11222(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)33（b）
证明：
J3?I3?13I1I2?227I13
I1??1??2??3I2??1?2??1?3??3?2I3??1?2?3I1I2?(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)?3?1?2?3??1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3123122222223I3?I1I2?I1??1?2?3?(3?1?2?3??1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)327327??(?1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)??1?2?39279J3?sijsjkski3?sij??ij?p?ij同理sjk??jk?p?jk???p??ski??ki?p?ki代入得1122222222222223334?12?13??11?p?sij??21?22?p?23???32?33???31?p?(?1??2??3)31?s1??1?ps2??2?ps3??3?p代入下式J3?s1s2s3?(?1?p)?(?2?p)?(?3?p)124222222333??(?1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)??1?2?39279?J3?I3?I1I2?I1327
123222?oct=（I1?3I2）3（c）
证明：
1?I1?(?1??2??3)?(?1??2)??3?2?3(?1??2)?I?3I2??1??2??3??1?2??1?3??3?2?(212222222I2??1?2??1?3??3?2)?(2?1??22?3??22)?(2?1??32)2?2oct4?1??22?3??22?1??3242?[()?()?()]?(I1?3I2)922291222??oct=（I1?3I2）3 (d)
J2??(s1s2?s3s2?s1s3)
证明：
J2??121221sijsji?221223(s11?s22?s33?s12s21?s21s12????)12(s?s?s?2?212211222233212222(s?s?s)??2?223?2?)231??s11s22?s33s22?s11s33????(s1s2?s3s2?s1s3)??223??231
2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。 证明：设静水应力为(p,p,p)，从主方向的定义有?ijnj??ni，从给定的应力状态中减去静水应力得(?ij?p?ij)nj?(??p)ni，即：
(?11?p)n1??12n2??13n3?(??p)n1
?21n1?(?22?p)n2??23n3?(??p)n2