(ii)对于0变化。
解：已知 cos3??33J32J22/3，，以及范围内
?sin3???33J32J2/32??cos3?
而 sin3???cos3???sin(?2?3?)?sin(3???2)
?3?=3?-?2
?????
?6 ?0????3 ??在-?6????3范围类变化
（c）对于由主应力定义的任意应力状态，并考虑在平面上
的投影（如图2.30所示），求解在以下条件中相应的和：
（i） ?2=解：已知
或；
sij???2?1??????????2??330002?2??3??130????0? ?2?3??1??2??3?0J2?1??????2?(???)2?(???)2?122331? 6?J3?S1S2S3 ， 0????3， ?????6
由于代入已知式子，得J3?2(?1??2)333， J23/213/23?()(?1??2) 3cos3??332?J3J3/22?332?233?1
0?3??0 得?=00，?=?-（ii）?2=
13?6=-30
或
233；
解：J2?(?1??3) J3?2(?3??1)3
?cos3??332?(?233)??1
?3???,??12?3?60 ????10?6?30
0?2?（iii）
(?1??3) 或??，??0
2 解：
?2?112(?1??3) 得J2=（?1-?3），J3=0 42???cos3??0
?6?30 ，??????00
06
2.18 （李树旺、李炜） 对于纤维增强（金属基）复合材料，考虑下面的“屈服函数”： ?1L? f?L122?94(4??1)2L3?k
2?,?和k 是材料常数，组合不变量Li表示为L1?J2?I?14I0,L2?I?I0,L3?I0,其中，I?didjsjkski,12sijsji,J3?13sijsjkski13222I0?didjsij,J2?(sij是对称二阶张量，?ij?sij??kk?ij).参照坐标轴xi,假定矢量di其中，位于x1?x2平面内，构成角?（xi轴反时针测量）。对于??0，30，90以及??3和?=7，画出在下例子应力空间中由f表示的表面的投影：（i) (?11,?22)(ii),(?11,?12)000
第三章
3.1（黄耀洪）给定一点上的相对位移量
(?x??y??z)'2'2'2?ij'，试证明对于坐标轴的转换
是不变量。
222证明：
?(?x??y??z)??x??y??z?2(?x?y??y?z??z?x)??x??y??z?2(?11?22??22?33??33?11)??x??y??z?2(?1?2??2?3??3?1)??x??y??z?2I2?2?I12222222222?
222∴
?x??y??z?I1?2?2I2?
'3.1 （张东升）给定一点上的相对位移张量?ij，试证明对于坐标轴的转换
(?x??y??z)是不变量。
''证明：给定一点上的相对位移张量?ij。在无限小变形情况下，其各分量?ij很小，
'2'2'2其乘积与其分量一次项相比可忽略不计。
设线元OP=单位矢量n，假设线元在纯刚体运动后所处新位置为O'P'，则
nn2n2?n???n2nn?2n?。因考虑的是无限小变形，?'的高次项被忽略，由式
'2???nj'i'ij代
1i入
j上
?得
22：
?n)3?'nn''n??ni??ni(?jinj)?02，
?'即
?2?0?2?jn'i?n?'1?n12?n(2??3(?3'n?n1)?2' ?n1)(?。n21'因为对于任意n1,n2,n3值上式必须成立，所以张量?ij代表刚体旋转的必要充分条
'''''''''??22??33??12??21??23??32??31??13?0。 件为：?11''??z?0。 所以?x'??y
'3.2 （梁健伟）给定一点上的相对位移张量?ij为
?0.10?'?ij??0.20???0.400.200.250.30?0.40???0.15 ?0.30??计算：
（a） 应变张量?ij； （b） 旋转张量?ij；
（c） 主应变?1，?2和?3及其主方向；
n?111?（d） 对具有方向n??,,?的纤维元，找出应变矢量?2?22??，转动矢量?和
nn相对位移矢量?'。
解：
?'?11??1''（a） 由公式：?ij????12??21??2?1''???13??31???212??12??21?''11?221'??2'23??32?'?''?23??32????2?'??33????2'13?'??31??
由已知条件可得：
?0.10??ij?0???000.250.075??0.075 ?0.3??10?0??1''??12?（b） 由公式：?ij????21?2?1''???31??13??2???2'12??21?'11??2'13?'??31????'3201??2'23??2'32??23?'0????????
由已知条件可得：
?0?0.2 ?ij?????0.4?0.200.225?0.4???0.225 ??0?（c） 由主应变特征方程：?3?I1'?2?I2'??I3'?0
I1??11??22??33=0.65
'I2?'?22?32?11?23?33?12?22?32??11?31?13?13?33??11?21?12?22=0.799
I3??21'?23=0.074 ?33?31带入特征方程中可以解得：?1?0.354,?2?0.196,?3?0.10 由公式??ij???ij?nj?0，将?1,?2,?3,带入可得到：
?1主方向： ni?1???0,?0.5847,?0.8113?； ??0,?0.8113,?0.5847?；
?2主方向： ni?2?