?31n1??32n2?(?33?p)n3?(??p)n3
把等式右边的pni移项到左边得
?11n1??12n2??13n3??n1
?21n1??22n2??23n3??n2
?31n1??32n2??33n3??n3
所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。
2.10（张东升） 证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量Sn。
证明：关于主应力轴，任意平面上Sn是用?1，?2， ?3由式
Sn?(?1n1??2222n22??23n)23?(?n1??12n2?2?2n)33 给出。
现假设静水应力状态（?,?,?）是被叠加上去，得一组主应力
?1??,?2??,???。对于这一新的应力状态，在任意斜截面ni上的剪应力分量3由
2下
222式
22得
2出
2：
22Sn?[(?1??)n1?(?2??)n2?(?3??)n3]?[(?1??)n1?(?2??)n2?(?3??)n3]
由恒
2等
2式
22nini?1n?2?)2，
2将
2上式展
n1)??开
2化
n2简得
33Sn?(?1n1??n3(??3n?。?1
这表明，原结论成立。
2.11 （黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。
?ij(1)求
?10??0???30303??0?2??的主应力，
?3002?10332?10003?6?20?9?30?47I1??11??22??33?10?3?2?15I2??22?32?23?33??11?31?13?33??11?21?12?22
?11I3??21?12?22?322?13?23?33?31?10??0???30303??0?33?2??
代入?解得?13?I1??I2??I3?0
?11 ?2??3?3?1
(2)ij同理，解得
(2)?ij?ij(1)?3??0???00?700??0??5??的主应力
?1?3?2??5?3??7
在主应力空间上的两个应力状态如下图所示：
?ij?10??0???3?153?5030求
p?I133??0?2??的
?1 、
?1
s2??2?p?3?5??2J2?1222s1??1?p?11?5?6
2s3??3?p?1?5??4
?1?(s?s?s)cos?1?32s1J221222312?7.48
(s1?s2?s3)?28
?0.98
?3??0???00?700??0??5???1?arccos0.98?11?28?
?ij(2)同理，求得
(2)?ij?ij(1)的?2?7.48 、 ?2?11?28?
在偏平面上的投影如下图所示：
2.12 （李松） 如果σijtjk=tijσjk, σij和tij为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将tij作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）
证明：由题意得：σijtjk=tijσjk 对i、j取1至3展开关系式得： σ11t1k+σ12t2k+σ13t3k= t11σ1k+ t12σ2k+ t13σ3k （1） σ21t1k+σ22t2k+σ23t3k= t21σ1k+ t22σ2k+ t23σ3k （2） σ31t1k+σ32t2k+σ33t3k= t31σ1k+ t32σ2k+ t33σ3k （3）
参照
σij的主轴，即i≠j时，σij=0. 所以，对于（1）式
K分别取2、3.由于i≠j时，σij=0. 则有： K=2时，σ1t12=t12σ2 ；k=3时，σ1t13=t13σ3
对于σ1＞σ2＞σ3，t12=0和t13=0. 同理由（2）（3）式可得： t21=0和t23=0，t31=0和t32=0.一般地，i≠j时，tij=0. 所以tij的主方向与σij的主方向重合
2.14 （卢俊坤）在偏平面上画出下列函数：
（a）J2?k12
（b）J2?2.25J3?k2 （c）?max?k3
其中，k1、k2和k3为常数。
解：（a）依题意得：将 J2?k12 代入 ??2J2 得 ??k12
326 所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为k12的圆。 函数图象如图a所示（利用Matlab绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数k1暂不考虑）。
图a
（b）依题意得：由 cos3??4273323J3J23/2 及 ???22J2
得：J3?2cos3??J22 和 J2?2
再代入 J23?2.25J32?k26 得：(1?13cos3?)21/6???2k2
函数图象如图b所示（利用Excel和Matlab绘制，以?1?为x轴，绘图时常数k2暂不考虑）。
21.510.50-2-1.5-1-0.5-0.50-1-1.5-2
0.511.52
图b （c）依题意得：由 ?max?k3 得：?12? 再得：?sin(?3??)?k3?22sin(?3??)?k3