(4) ?x?yM(x,y,y) (5) ?x?yA(x,y,x)
3. (1) ?!x(E(x) ∧M(x))
(2)N(x):x是自然数，F(x,y):x大于y,M(x,y):x-1=y
?x(N(x) ∧F(x,0) →?!y(N(y) ∧M(x,y)))
(3)M(x):x是平面上的点，N(x):x直线，F(z,x,y):z过x与y， ?x?y(M(x) ∧M(y) →?!z(N(z) ∧F(z,y,x)))
(4)M(x):x是平面上的点，N(x):x是平面上的直线，F(x,y):x在y上，G(x,y):x
过y. H(x,y):x平行y
?x?y(N(x) ∧M(y) ∧┐F(y,x) →?!z(N(z) ∧G(z,y) ∧H(z,x)))
4.(1)存在x,对任意y,有x*y=1; (2)对任意x,存在y,使x*y=1. (3)对任意x,存在y，使x*y=0 (4)存在x,对任意y，有x*y=0 (5)对任意x,存在y，使x*y=x (6)存在x,对任意y，有x*y=x
(7)对任意x和y，存在y，使x-y=y
习题2.2
1. (1)x是约束变元，也是约束出现；y是自由变元，也是自由出现。 (2)?x(P(x) ∨Q(x))中的x皆为约束出现，也是约束变元，R(x)中的x为自由出
现，也是自由变元
(3)x,y是约束出现，也是约束变元；z是自由出现，也是自由变元。
(4)?x(P(x) ∧?xQ(x))中的x圴为约束出现，也是约束变元；?yR(z,y)中的y为
约束出现，也是约束变元z和R(x,y)中的x与y为自由出现也是自由变元
2. (1) ?的辖域为P(x) →Q(x,y); ?的辖域为P(x) (2) ?,?的辖域均为R(x,y) ∨P(y)
(3) ?x,?y的辖域为R(x,y) ∨P(y,z); ?x的辖域为Q(x) (4) ?,?的辖域均为R(x,y)
3. (1) ?zP(z) ∨?y?wR(w,y) ∨Q(x) (2) ?u(P(u,y) ∨Q(y)) ∧?vR(?,v,z) (3) ?u?vP(v,u) →?wP(w,y) ∧?zR(x,z)
习题2.3
1. (1)P(1) ∨Q(1)=1.P(2) ∨Q(2)=1.原式在I下为1
(2)由(1)知，原式在I下为1
(3)P(1) ∧Q(1)=0,原式在I下为0
(4)P(1) ∧Q(1)=0,P(2) ∧Q(2)=0.原式在I下为0 (5)P(1) →Q(1)=1,原式在I下为0 (6)P(2) →Q(2)=1,原式在I下为1
(7)P(2)=0, ?xP(x)=0;Q(1)=0, ?xQ(x)=0,原式在I下为0 (8)P(1)=1, ?xP(x)=1;Q(2)=1, ?xQ(x)=1,原式在I下为1 2.(1)构造I1：DI1={α}，
构造I2: DI2={α，β}， (2) )构造I1：DI1={α}， 构造I2: DI2={α} (3) 构造I1：DI1={α}, 构造I2: DI2={α}, (4) 构造I1：DI1={α,β},
,, ,,,,,
,原式在I1下为0
原式在I2下为1，故得证 ,
原式在I1下为0 原式在I2下为1，故得证
原式在I1下为0 原式在I2下为1，故得证 ,
原式在I1下为0
构造I2: DI2={α},,原式在I2下为1，故得证.
3. (1)成立。若?xA(x) →?xB(x)为0，则?xA(x)为1，且?xB(x)为0，即?I，?
α?DI,A（α）为1，且?β?DI，B(β)为0，则A(β) →B(β)为0，故?x(A(x) →B(x))在I下为0，从而原式成立。 (2)不成立。构造I: DI={α，β}，
,
,则A(α) →B(α)
为0，故?x(A(x) →B(x))为0,而?xA(x), ?xB(x)在I下均为0，故?xA(x) →?xB(x)在I下为1，从而(?xA(x) →?xB(x)) →?x(A(x) →B(x))在I下为0，故原式不成立。
(3)成立。左式?┐?xA(x) ∨?xB(x) ??x┐A(x) ∨?xB(x) ?x(┐A(x) ∨
B(x)) ?右式 (4)不成立。左式??x(┐A(x) ∨B(x)) ?x┐A(x) ∨?xB(x) ?┐?xA(x) ∨
?xB(x) ?右式
4. (1)左式??x(A(x) ∨?yB(y)) ?右式
(2)左式??x(A(x) ∧?yB(y)) ??xA(x) ∧?yB(y) ?右式 (3)左式??x(A(x) ∧?yB(y)) ?右式 (4)左式??x(A(x) →?yB(y)) ?右式 (5)左式??x(A(x) →?yB(y)) ?右式
5. 由?x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ?x┐P(x) ∧?x┐Q(x)知┐?x(┐P(x) ∧┐
Q(x)) ┐(?x┐P(x) ∧?x┐Q(x))
习题2.4
1.（1）反式?（?xP(x) ∧?x┐Q(x)）∨(?xQ(x) ∧?yR(y)) ??x(P(x) ∧┐Q(x) )
∨(?zQ(z) ∧?yR(y)) ??x?z?y((P(x) ∧┐Q(x)) ∨(Q(z) ∧R(y))) (2)反式??yP(y) ∨(?x┐Q(x) ∧?xR(x)) ??yP(y) ∨?x(┐Q(x) ∧R(x))
??y?x(P(y) ∨(┐Q(x) ∧R(x)))
(3)反式??x?y┐P(x,y) ∨(?xQ(x,y) ∧R(x)) ??u?v┐P(u,v) ∨(?uQ(u,y)
∧R(x)) ??u?v(┐P(u,v) ∨(Q(u,y) ∧R(x)))
(4)反式??y?x(P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨?y┐R(y) ∨?xP(x) ??y(?x((P(x) ∧┐
Q(x,y)) ∨P(x))) ∨?y┐R(y) ??y?xP(x) ∨?y┐R(y) ??xP(x) ∨?y┐R(y) ??x?y(P(x) ∨┐R(y))
(5)反式??x┐P(x) ∨?xQ(x) ??x(┐P(x) ∨Q(x))
2. (1) 反式的skolem范式为：?x?y((P(x) ∧┐Q(x)) ∨(Q(f(x)) ∧R(y))) (2) 反式的skolem范式为: ?y ?x(P(y) ∨(┐Q(x) ∧R(x))) (3) 反式的skolem范式为: ?v(┐P(a,v) ∨(Q(a,y) ∧R(x))) (4) 反式的skolem范式为: ?y(P(a) ∨┐R(y)) (5) 反式的skolem范式为: ┐P(a) ∨Q(a)
3.不正确。由于?xP(x,y) ∧?xQ(x) ?x(P(x,y) ∧Q(x)),故（?xP(x,y) ∧?xQ(x)）→?yR(y) ?x(P(x,y) ∧Q(x)) →?zR(z)
习题2.5
1.由P37例2.1.3知，即证明?x(M(x) →D(x)) ∧M(a) ①?x(M(x) →D(x)) 前提 ②M(a) →D(a) ①,VS ③M(a) 前提
④D(a) ②,③,MP
2. (1) ①?x(P(x) →Q(x)) 前提 ②P(z) →Q(z) ①,VS ③?y┐Q(y) 前提 ④┐Q(z) ③,VS
⑤┐P(z) ②,④,拒取式 ⑥?x┐P(x) ⑤,UG
D(a)
(2)① ┐?x(P(x) ∨Q(x)) 假设前提 ②?x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ①,Q1,E10 ③?xP(x) 前提 ④P(c) ③,ES ⑤┐P(c) ∧┐Q(c) ②,VS
⑥P(c) ∧┐P(c) ∧Q(c) ④,⑤,合取引入 ⑦F ⑥,E21,E17 故反式成立
(3)①?xP(x) ②P(y) ③?x(P(x) → Q(x)) ④P(y) →Q(y) ⑤Q(y) ⑥?xQ(x) ⑦?xP(x) →?xQ(x)
(4)①?x(P(x) →R(x)) ②P(c) →R(c) ③?x(┐P(x) →Q(x)) ④┐P(c) →Q(c) ⑤?x┐Q(x) ⑥┐Q(c) ⑦P(c) ⑧R(c) ⑨?xR(x)
(5)①?x(P(x) ∧Q(x)) ②P(c) ∧Q(c) ③P(c) ④?x(P(x) →Q(x) ∧R(x)) ⑤P(C) →Q(c) ∧R(c) ⑥Q(c) ∧R(c) ⑦?x(Q(x) ∧R(x))
3.(1)①?xP(x) ②P(c) ③┐(?xP(x) ∧Q(a)) ④?x┐P(x) ∨Q(a) ⑤┐P(c) ∨┐Q(a) ⑥┐Q(a) ⑦?xP(x) →┐Q(a) CP
(2)①?x(P(x) ∨Q(x)) 附加前提 ①,VS 前提 ③,VS ②,④,MP ⑤,UG CP 前提 ①,ES 前提 ③,VS 前提 ⑤,VS
④,⑥,拒取式，E1 ②,⑦,MP ⑧.EG 前提 ①,ES 化简 前提 ④,VS ③,⑤,MP ⑥,EG 附加前提 ①,ES 前提
③,Q3,E11 ④,VS
②,⑤,析取三段论 前提
②P(y) ∨Q(y) ①,VS ③?x┐P(x) 前提 ④┐P(y) ③,VS
⑤Q(y) ②,④,析取三段论 ⑥?xQ(x) ⑤,UG
(3)①┐?x(P(x) ∨Q(x)) 前提
②?x（┐P(x) ∨┐Q(x)） ①,Q4,E11 ③┐P(c) ∨┐Q(c) ②,ES ④?xP(x) 前提 ⑤P(c) ④,VS
⑥┐Q(c) ③,⑤,析取三段论 ⑦?x┐Q(x) ⑥,EG ⑧┐?xQ(x) ⑦,Q4
4.(1)为真。
①?yP(y) 前提 ②P(c) ①,ES ③?x(P(x) →Q(x)) 前提 ④P(c) →Q(c) ③,VS ⑤Q(c) ②,④,MP ⑥?zQ(z) ⑤,EG
(2)为假。构造I：DI={α},, ,则?x(P(x) ∨Q(x))为1，而?xP(x)
为0，故?x(P(x) ∨Q(x)) →?xQ(x)为0.
(3)为真。
①?x(P(x) →Q(x)) 前提 ②P(c) →Q(c) ①,VS ③┐Q(c) 前提
④┐P(c) ②,③,拒取式 ⑤┐P(c) ∨Q(c) ④,附加规则 ⑥P(c) →Q(c) ⑤,E14 ⑦?x(P(x) →Q(x)) ⑥,EG
习题3.1
1.
(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {aa, ab, ba, bb} (3) {-1,1}
(4) {11,13,17,19,23,29} (5) {1,2,3,…,79}