(6) {2}
2. 用描述法表示下列集合:
(1) 不超过200的自然数的集合;
{x|x?N?x?200}
(2) 被5除余1的正整数的集合;
{x|x?I+??y(y?N?x?5y?1)}
(3) 函数y=sinx的值域;
{y|y?R??1?y?1}
(4) 72的质因子的集合;
{x|x?N?x|72??y(y?N?2?y?x?y?|x)}
(5) 不等式
1?0的解集; x?3{x|x?R?x?3}
(6) 函数y?1的定义域集.
x2?3x?2{x|x?R?x?1?x?2}
3. 用归纳定义法描述下列集合:
(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合; ① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}?A ② 如果x?A，
则{0x,1x,2x,3x,4x,5x,6x,7x,8x,9x,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}?A (2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合; ① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?A
② 如果x?A，则{x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}?A (3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合; ① 1?A
② 如果x?A，则{x0,x1}?A (4) 5的正整数倍的集合. ① 5?A
② 如果x?A，则x?5?A
4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A是任意集合): (1) ??A; (4) A?A;
(2) ??A; (5) A?A;
(3) A?{A}; (6) A?{A};
(7) ??{?}.
答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
5. 判断下列命题中哪些为真： (1) ??{?,{?}}
(2) ??{?,{?}}
(3) {?}?{?,{{?}}}
(6) {{?}}?{?,{?}}
(4) {?}?{?,{{?}}} (5) {{?}}?{?,{?}}
(7) {{?}}?{?,{?,{?}}} (9) {a,b}?{a,b,{a},{b}} (11) ??{?}
(8) {{?}}?{?,{?,{?}}} (10) {a,b}?{a,b,{a},{b}}
(13) ??? (14) ??{?}
(12) ??{?}
答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。
6. 设A和B是集合，A?B和A?B能同时成立吗？为什么？ 答：能。当B?A?{A}时，A?B和A?B同时成立。
7. 设A和B是集合，A?B和B?A能同时成立吗？为什么？
答：不能。若A?B和B?A同时成立，则我们能得到B?B，而这是不可能的。
8. 设A，B和C是集合，若A?B，且B?C，则A?C可能成立吗？A?C是否总能成立？为什么？
答：A?C可能成立。比如当B?{A}，C?{A,B}时，A?B，B?C和A?C同时成立。但结论不是总成立。比如B?{A}，C?{B}时，A?B且B?C，但A?C不成立。
9. 设A，B和C是任意集合，证明或否定下列断言： (1) 若A?B，且B?C，则A?C
结论成立。因为x?A?x?B?x?C，所以A?C (2) 若A?B，且B?C，则A?C
结论不成立。例如当A?{a},B?{a,b},C?{a,b,c}时，有A?B，且B?C，但A?C (3) 若A?B，且B?C，则A?Cs
命题为假。设B?{A},C?{B},易知A?B，且B?C，但A?C
(4)若A?B，且B?C，则A?C
结论成立。(题目有误，应改为“若A?B，且B?C，则A?C”)
A?B∧B?CA?B∧?x( x?A→x?φ) ?x(┐(x?A∨0) ┐?x(x?
A)A=φ
10. 设A, B和C是任意集合. 证明或否定下列断言: (1) 若A?B, 且B?C, 则A?C
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有A?B和B?C, 但A?C (2) 若A?B, 且B?C, 则A?C
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={{a},b}, C={{a},c}时, 有A?B和B?C, 但A?C (3) 若A?B, 且B?C, 则A?C
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有A?B和B?C, 但A?C (4) 若A?B, 且B?C, 则A?C
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有A?B和B?C, 但A?C
11. 证明：A??当且仅当A??
证：必要性. 因为A??和同时成立??A，所以A??. 充分性. 因为空集是任何集合的子集, 而A??, 所以A??
12. 确定下列哪些集合是相等的: A1={a,b} A2={b,a} A3={a,a,b} A4={a,b,c} A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} A6={a,b,d} A7={x|{x2-(a+b)x+ab=0} 答: A1, A2, A3, A7相等, A4与A5相等.
13. 设n个集合A1, A2,…An满足关系A1?A2?...?An?A1. 证明: A1= A2=…= An. 证: 对任意的2?i?n从条件我们得到A1?Ai和Ai?A1, 所以我们有Ai?A1, 因此A1= A2=…= An.
习题3.2
1. 设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d} B={a,b,c}, C={b,d}. 求下列各集合: (1) A?B?C
(2) A?B?C
(3) A?B?C
(4)
?(A)??(B)
(5) (A?B)?(B?C) 解：(1) A?B?C?{a} (2) A?B?C?U
(6) (A?B)?C (7) A?(B?C)
(3) A?B?C?{b,d} (4)
?(A)??(B)?{{d},{a,d}}
(5) (A?B)?(B?C)?{a,c,d} (6) (A?B)?C?{b,d} (7) A?(B?C)?{a,d,e}
2. 设A, B和C是集合，试把A?B?C表示成各不相交的集合之并. 解：A?B?C?A?(B?A)?(C?A?B)
3. 设A, B和C是集合.
(1) 若A?B?A?C，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？
答：不一定。例如当Ａ＝Ｕ时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (2) 若A?B?A?C，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？
答：不一定。例如当A??时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (3) 若A?B?A?C，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：一定。 证明如下：
①若A??，则A?B??和A?C??，从而Ｂ＝Ｃ.
②若A??和B??, 则A?B?A?C等价于A?A?C?A?C, 若x?A, 则x?A?C, 因为x?A, 所以x?C, 说明A?C??, 并且A?A?C, 从而C?? ③若A??并且B??, 条件A?B?A?C等价于A?B?A?B?A?C?A?C, 则
x?B?(x?B?x?A)?(x?B?x?A)?(x?A?x?A?B?A?B)?(x?A?x?A?B?A?B) ?(x?A?x?A?C?A?C)?(x?A?x?A?C?A?C) ?(x?A?C?x?A?C)?(x?A?x?A?C)
?x?C 从而B?C 同理可证C?B 因此B?C
4. 设??{{a,b},{b,c},{a,c},?}, 试计算: (1) ??
(2) ??
(3) ?{??}
(4) ?{??}
解: (1) ???{a,b,c} (2) ????
(3) ?{??}??{{a,b,c}}?{a,b,c} (4) ?{??}??{?}??
5. 求下列集合的幂集： (1) {{?}} 解:
?({{?}})?{?,{{?}}}
(2) {a,b,c} 解:
?({a,b,c})?{?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
(3) {{a,b},{c}}
解：?({{a,b},{c}})?{?,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}} (4) {?,{?},{{?}}}
解:
?({?,{?},{{?}}})?{?,{?},{{?}},{{{?}}},{?,{?}},{?,{{?}}},{{?},{{?}}},{?,{?},{{?}}}}
(5) {a,b,b} 解:
?({a,b,b})?{?,{a},{b},{a,b}}
6. 判断下列哪些运算结果是对的, 那些是错的: (1) ??{?}??
(2) ??{?}??
(3) {?}?{?,{?}}?{?}
(4) {?,{?}}?{?}?{?,{?}} (6) {?,{?}}?{{?}}?{?}
(5) {?,{?}}???{{?}}
答: (1),(3)和(6)是对的, (2),(4)和(5)是错的.
习题3.3
1. 证明下列各式：