~~~~?R1?R2?R1?R2?(R1?R1)?(R2?R2)?s(R1)?s(R2)
(3)题目有误，应改为t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)
R1,R2?R1?R2?t(R1),t(R2)?t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)?t(R1?R2)
(4) R1={<1,2>},R2={<2,3>},t(R1)?R1,t(R2)?R2,t(R1?R2)={<1,2>,<2,3>,<1,3>}
t(R1)?t(R2)={<1,2>,<2,3>},t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)
7.(1)r(R1?R2)?(R1?R2)?IA? (R1?IA)?(R2?IA)?r(R1)?r(R2) (2) R1?R2?R1,R2?s(R1?R2)?s(R1),s(R2)?s(R1?R2)?s(R1)?s(R2) (3) R1?{<1,2>,<1,3>}, R2?{<1,2>,<3,1>}, s(R1)?s(R2)?{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}
s(R1)?s(R2)?{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}, s(R1?R2)?{<1,2>,<2,1>}, s(R1?R2)?s(R1)?s(R2)
(4) R1?R2?R1,R2?t(R1?R2)?t(R1),t(R2)?t(R1?R2)?t(R1)?t(R2) (5) R1?{<1,3>}, R2?{<1,2>,<2,3>}, t(R1)?{<1,3>}, t(R2)?{<1,2>,<2,3>,<1,3>},
t(R1)?t(R2)?{<1,3>}, t(R1?R2)??, t(R1)?t(R2)?t(R1?R2)
8.(1) ?i?I?,R?R??R??R2，即t(R1)?t(R2)
i?1i?1i1i2?i1?i（2）~r(R)?R?IA（*）?R?IA=R?IA=r(R)；
???~i?i~iiit(R)??R??R（R上面有～）=?R??R?t(R)；
i?1i?1i?1i?1~~tr(R)?rt(R)，R可传递?t(R)?R?tr(R)?r(R)?r(R)可传递。
(3)先用数学归纳法证明：(R?IA)?R?R立。 设R?Rii?1iii?1???R?IA ?i?I?。当i?1时，显然成
???R?IA?(R?IA)i 则
(R?IA)i?1?(R?IA)?(R?IA)i?(R?IA)?(Ri?Ri?1???R?IA) ?((R?IA)?Ri)?((R?IA)?Ri?1)???((R?IA)?R)?((R?IA)?IA)
?((R?Ri)?(IA?Ri))???((R?R)?(IA?R))?((R?IA)?(IA?IA)) ?(Ri?1?Ri)???(R2?R)?(R?IA) ?Ri?1?Ri???R?IA
故得证
??rt(R)?t(R)?IA?(?R)?IA??(Ri?Ri?1???R?IA)
i?1i?1i??(R?IA)??(r(R))i?tr(R)
i?1i?1?i?~~~~~~R,R?R?R??i?I?,Ri,Ri?(R?R)i??i?I?,Ri?Ri?(R?R)i。
?~i~st(R)?t(R)?t(R)（*）?(?R)?(?R)（*）??(R?R)??(R?R)i?ts(R)
?i?i?ii?1i?1i?1i?1（*）有此标记的为前面的符号上面有～符号。
9，题目有误，应改为?x?y?z(x?A?y?A?z?A?xRy?yRz?? (1) 如R?{?1,2?,?2,3?}
2(2) R反传递???x,y?,?y,z??R，即??x,z??R?R?R，有
?x,z??R?R2?R??。
习题4.4
1.(1)A上最大等价关系为A?A，有n个元素，秩为1 (2)A上最小等价关系为IA，有n个元素，秩为n
22、（1）否。如R1＝IA为等价关系，但A×A－IA非自反，故非等价关系。 （2）否。如A＝｛1，2，3｝，R1＝｛<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>，<3,3>｝。 （3）是。R1自反?IA?R1?IA＝IA22~~?R12?R12自反; R1对称?R12＝R1＝
R12?R12对称; R1可传递?R12?R1（）?(R12)2?R12?R12可传递。
（4）否。如A＝｛1，2，3｝，R1＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>｝
均为等价关系。但r（R1－R2）＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,3>，<3,1>，<2,3>，<3,2>｝非可传递，故非等价关系。
（5）否。如A＝｛1，2，3｝，R1＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>｝，
R2＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,3>，<3,1>｝均为等价关系。但R1?R2＝｛<1,1>，
<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<1,3>，<3,1>｝非等价关系。
（6）否。如（5）中，R1，R2，R1?R2＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<1,3>，<3,1>｝非可传递，故非等价关系。
3、??x,y??R，R自反，R循环?
??x,y?，?y,z??R，R循环?
4、?x?A，R1自反?
??x,y??R2?
??x,y?，?y,z??R2?
5、不正确。因为该题中a，b不一定具有任意性，而自反性定义中要求?x?A，xRx。 6、（1）非 （2）非
（3）是，R＝｛<1,1>，<1,2>，<1,7>，<2,1>，<2,2>，<2,7>，<7,1>，<7,2>，
<7,7>，<3,3>，<3,5>，<3,10>，<5,3>，<5,5>，<5,10>，<10,3>，<10,5>，<10,10>，<4,4>，<4,6>，<4,8>，<6,4>，<6,6>，<6,8>，<8,4>，<8,6>，<8,8>，<9,9>｝
7、?Aij?B,Aik?B??2，(Aij?B)?(Aik?B)?(Aij?Aik)?B???B??；
m,}，x?Aip,x?B?x?Aip?B ?x?A?B?x?A,x?B??p?{1,2,...?A?B?U(Ail?B)；
l?1m又?l?{1,2,...,m},Ail?B?A?B?U(Ail?B)?A?B，故U(Ail?B)?A?B。
l?1l?1mm故?2为划分。
8、[1]R＝[5]R＝｛1，5｝ [2]R＝[4]R＝｛2，4｝ [3]R＝[6]R＝｛3，6｝
R 诱导的划分?＝｛｛1，5｝，｛2，4｝，｛3，6｝｝。
9、??x,y??A×B，R1，R2自反? y>>?R3?R3自反。 ???x1,y1?,?x2,y2???R3??x1,x2??R1,?y1,y2??R2，R1，R2对称 ??x2,x1??R1,?y2,y1??R2???x2,y2?,?x1,y1???R3?R3对称。 ???x1,y1?,?x2,y2??,??x2,y2?,?x3,y3???R3??x1,x2?,?x2,x3??R1， ?y1,y2?,?y2,y3??R2?R1，R2可传递??x1,x3??R1,?y1,y3??R2 ???x1,y1?,?x3,y3???R3?R3可传递。故R3为等价关系。 10、（1）否。如A＝｛1，2｝，?1＝｛｛1，2｝｝，?2＝｛｛1｝，｛2｝｝，?1??2＝｛｛1，2｝，｛1｝，｛2｝｝非A的划分。 （2）否。如（1），?1??2＝?，非A的划分。 （3）否。?1＝｛｛1｝，｛2，3｝｝，?2＝｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，?1－?2＝｛｛2，3｝｝，非A的划分。 （4）是。(?1?(?2??1))??1?(?1??2??1)??1＝???1??1 ?习题4.5 1、（1）b?a,c?e,d?f,c?f成立。 （2）a. e. f. b. d. c. （3）（a）极大元a, e, f；极小元c；最小元c；下界c；最大下界c。 （b）极大元b, d；极小元b, d；下界c；上界e；最大下界c；最小上界e。 （c）极大元e；极小元b；最大元e；最小元b；下界b, c；上界e；最大下界b；最小上 界e。 （d）极大元e；极小元b, d；最大元e；最小元b；下界c；上界e；最大下界c；最小上界e。 2、（1）R1是，；R2是， ； R3是， ；R4是，；R5非；R6非。 （2）均非拟序关系；R1是全序关系，也是良序关系，其余均非全序关系和良序关系。 ~3、（1）R为偏序关系?R自反，反对称，可传递，由习题4.3，可知R自反，反对称，可~传递?R为偏序关系。 ~~（2）R为拟序关系?R反自反，可传递，由习题4.3，可知R反自反，可传递?R为拟序 关系。 ~（3）R为全序关系?R为偏序关系，且?x,y?A,?x,y??R或?y,x??R?R为偏序~~~关系，且?x,y?A,?y,x??R或?x,y??R?R为全序关系。 ~（4）如?N,??为良序关系，但?N,????N,??非良序关系。 ''4（1）若B?A，则?x?A，但x?B，从而?x,x??B?B，故?x,x??R，即R非''自反，故R非偏序关系；若B＝A，则R＝R?(A?A)?R为偏序关系。 '' （2）R为拟序关系?R反自反，R?R?R反自反；?x,y,z?B，若 ?x,y?,?y,z??R'?R，R可传递 ??x,z??R，又 ?x,z??B?B??x,z??R?(B?B)?R'可传递，故R'为拟序关系。