5.设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7， c1c2c3c4c5c6c7．试证存在 整数i和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：ai=aj=bi=bj， ai=aj=ci=cj，ai=aj=ci=cj．
证： 显然，每列中必有两数字相同，共有种模式， 有０或１两种选择．故共有·2
种选择．·2=6．现有7列， ．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有
一矩形，四角的数字相等．
6. 在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于
证： 把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形． 如上图.则这５点中必有两点落在同一个
小正方形内．而小正方 形内的任两点的距离都小于．
7．在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．
证：
把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在 同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．
8. 任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
证：整数的个位数的可能取值为０，１，?，９．共１０种可能．11个整数中必有 ２个数的个位数相同，即这两个数之差能被１０整除．
9. 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和， 或是另一个数的两倍。
证： 用反证法。设存在划分 P1∪P2∪P3∪P4∪P5＝[1，326]， Pi中没有数是两数之
差．
，则有一Pi中至少有66个数， A＝{ a1 ,?,a66} ，a1＜a2＜···＜a66 ， 以
下按书上174页的例题证明可得．
10. A、B、C三种材料用作产品I、II、III的原料，但要求I禁止用B、C作原料，II不能用B作原料， III不允许用A作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料） 解：按题意可得如下的带禁区的棋盘,其中有阴影的表示禁区．
棋盘多项式为： R(
)=R(
)R(
)
=(1+x)(1+3x+x2 ) =1+4x+4x + x 3
故方案数＝3!－4·2!+4 ·1!－1 ·0!＝1
11. n个球放到m个盒子中去，n＜(m/2)(m－1)，试证其中必有两个盒子有相同的球数。 解：设m个盒子的球的个数是a1,?,am， 各不相等，且有0≤a1＜a2＜···＜am．则有 a2≥1、am≥m－1，故
≥1+2+?+m－1＝(m/2)(m－1) ， 与n＜(m/2)(m－1)相矛盾！ 所以必有两个盒子的球数相等．
12. n各单位各派两名代表去出席一会议。2n位代表围一圆桌坐下。试问： （1）各单位代表并排坐着的方案是多少？ （2）各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？
解：
13. 一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。清理过程要求不打乱所有的类别。试问:
（1）m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？ （2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数等于多少？
（3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又有多少？
解：
14．m+1行同色的矩形。
列的格子同m种颜色着色，每格着一种颜色，其中必有一个4角
证 每列有(m+1)行，只有m种颜色，故一列中必有两格同色．同色的２个格子的行 号有
种取法．有m种色，故有m 种同色模式，现有m +1列，必有两列的同色模
式相同．即由这两列的对应行上有 ４个格子同色，正好是一个矩形的４个角上的格子．得证． 15. 两名教师分别对6名学生同时进行两门课程的面试（每名教师各管一门课程）每名学生每门面试的时间都是半个小时，共有多少不同的面试顺序？ 解 第一门课的顺序有6!种；
第二门课的顺序有： D6＝6! ( (1/2!)－(1/3!)＋(1/4!)－(1/5!)＋(1/6!) )＝265; 故总顺序有6!×265种．
16.在平面直角坐标系中至少任去多少个整点（两个坐标系都是整数）才能保证其中存在3个构成三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）．
解 任一点的坐标（a , b）只有如下４种可能：(奇数，偶数)、(奇数，奇数)、 (偶数，奇数)、(偶数，偶数)。因而5个点中必有两个点模2的格式一样．设 2｜(x1－x2)，2｜(y1－y2)即x1－x2＝2k ， y1－y2＝２l，则三角形面积
是整数．
17. 在平面直角坐标系中至少任去多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？
解 设(x，y)是整点，每个分量模3后有 如下表的结果：
若有３个点模３后的结果落在上表中的同 一格中，则这３个点的重心是整点． 若有３点占满一行，则３点重心是整点； 有３点占满一列，则３点重心是整点； 若存在一组均匀分布，则有3点重心是整点．
由上表可知，若只有8个点，也不能保证有３点的重心是整点．（因为若每个格子都有 ２点，则只占有４个格子，无法保证上面的要求）
下面假设存在９个点，其中任３点的 重心都不是整点．则这9个点，至少占有＝5个
格子（因 为每格中最多有2个点，否则有3个点的重 心为整点），每行最多有２格，又=3，
所以每行都有点． 同理，每列都有点． 不妨设第一行2点，第二行2点，第三行1点 前2 行有两种模式：
或
这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的 三点重心是整点的情况．
故 9个点能保证其中存在３个点的重心是 整点．