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(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。
1.2 倒立摆的控制方法
倒立摆有多种控制方法[2]。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类 ：
(1) 线性理论控制
将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制、LQR控制算法是其典型的代表。
(2) 预测控制
预测控制：是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制：是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。
(3) 智能控制
智能控制(IC)是一门新型的理论和技术，是传统控制的高级阶段，主要用来解决复杂系统的控制。近几年来国内外对智能控制的理论和应用研究十分活跃。随着智能控制技术的迅速发展，已提出了许多方法，如模糊控制、神经网络、专家系统、遗传算法等。
(4) 多种算法相结合的控制
尽管各类算法有自己的优点，但也存在不足之处。多种算法相结合就可以取长补短，达到更好的控制效果。比如神经网络与模糊算法相结合、模糊控制与PID算法相结合、免疫算法和遗传算法相结合等。
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1.3 PID控制器参数整定方法
PID控制是工业过程控制中应用最广的策略之一，因此PID控制器参数的优化成为人们关注的问题，它直接影响控制效果的好坏，并和系统的安全、经济运行有着密不可分的关系。PID控制器作为最早实用化的控制器已有50多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。
PID控制器由比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)组成。其输入e(t)与输出u(t)的关系为：
1p[e(t?)? u(t)?KTie(t)?dtde(t)Td ] (1.1) dt
式中积分的上下限分别是0和t，因此它的传递函数为：
G(s)?U(s)1???Kp?1??Tds? (1.2) E(s)?Tis?
式中： KP为PID控制器的放大系数； Ti为PID控制器的积分时间常数； Td为PID控制器的微分时间常数。
目前PID参数的优化方法有很多种[3]，如：单变量的寻优技术——分割法、插值法等，多变量的寻优技术——梯度法、单纯形法等。虽然两者都具有良好的寻优特性，但却存在着一些弊端，梯度法由于每步都需要计算目标函数的梯度，所以要求目标函数连续可导，该法计算繁琐费时；单纯形法对于变量较多，目标函数形态比较复杂的情况则收敛慢，同时对初值比较敏感，容易陷入局部最优解，造成寻优失败。虽然传统的优化方法存在着一些弊端，但仍是现场人员常用的方法，它们同样具有较高的研究价值。
下面介绍几种PID优化算法： (1) 临界比例度法
临界比例度法又称稳定边界法，是目前应用较广的一种控制参数整定的方法。临界比例度就是先让控制器在纯比例作用下，通过现场试验找到等幅震荡的过渡过程，记下
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此时的比例度和等幅振荡周期，再通过简单的计算求出衰减振荡时控制器的参数。
(2) 经验凑试法
此时是根据经验先将控制器的参数放在某一数值上，直接在闭环控制系统中，通过改变设定值施加干扰试验信号，在记录仪上看被控量的过渡过程曲线形状，控制器参数凑试的顺序有两种方法：一种认为比例作用是基本的控制作用，因此，首先把比例度凑试好，待过渡过程已基本稳定，然后加积分作用以消除余差，最后加入微分作用以进一步提高控制质量。另一种整定顺序的出发点是：比例度与积分时间在一定范围内相匹配，可以得到相同递减比的过渡过程。这样比例度的减小可用增大积分时间来补偿，反之亦然。所以要预先确定一个积分时间数值，然后由大到小调整比例度以获得满意的过渡过程。
(3) 专家控制
专家系统[4]是一类包含着知识和推理的智能计算机程序，其内部包含有大量的某个领域专家水平的知识和经验，能够利用人类专家的知识和解决问题的方法来处理该领域的问题。
专家控制的实质是基于受控对象和控制规律的各种知识，以智能的方式来利用这些知识，求得受控系统尽可能地优化和实用化，它反映出智能控制的许多重要特征和功能。随着微机技术和人工智能技术的发展，出现了多种形式的专家控制器。人们自然地也想到用专家经验来建立PID参数，其中最经典的是1984年美国FOXBORO公司推出的EXACT专家式自整定控制器，将专家系统技术应用于PID控制器[5]。
通常，一个以规则为基础，以问题求解为中心的专家系统由知识库、推理机、综合数据库、解释接口和知识获取五部分组成。简单地讲，知识库就是领域知识的存储器。数据库用来存放用户提供的事实和由推理机得到的中间结果。这部分的内容是随时变化的，因此它不同于一般意义上的“数据库”。推理机实质上就是计算机的一组程序，目的是用于控制、协调整个专家系统的工作。解释接口又称为人—机界面。知识获取是将某个领域内的事实性知识和领域专家所特有的经验性知识转化为计算机程序的过程。利用专家系统对PID控制参数进行优化包括四个过程。即：系统控制性能的判别，过程响应曲线的特征识别，控制参数调整量的确定以及PID控制参数的修改等。
(4) 粒子群算法
粒子群算法[6]是由Kennedy和Eberhart等1995年提出的一种演化计算算法。它是
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对鸟群觅食过程中的迁徙和聚集的模拟，更确切地说，是由简单个体组成的群落与环境以及个体之间的互动行为。该模拟系统利用局部信息，从而可能产生不可预测的群体行为。目前已广泛应用于函数优化、神经网络训练和模糊系统控制等领域。该算法与其他进化算法相似，也是基于群体的迭代算法。粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索，类似梯度下降算法使各染色体向适应度函数最优的方向群游。
(5) 遗传算法
遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法，它最初由美国Michigan大学J.Holland教授于1975年首先提出来的，并出版了颇有影响的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》，GA这个名称才逐渐为人所知，J.Holland教授所提出的遗传算法（GA）通常为简单遗传算法（SGA）[7]。
遗传算法具有很强的寻优能力，能够解决各类复杂的优化问题，且具有广泛的适应性和优良的鲁棒性。其应用前景十分广阔。根据遗传算法的特点，只要将控制器的参数构成基因型，将性能指标构成相应的适应度，便可利用遗传算法来整定控制器的最佳参数，并不要求系统是否为连续可微。
GA采用纯数值计算方法和随机进化策略，无需梯度信息，能有效解决困难的优化问题，处理问题具有灵活性、适应性、鲁棒性、全局性，不仅提高了设计的品质而且降低了设计的难度。
1.4 本文的主要任务
本论文的主要任务是研究直线型一级倒立摆的PID控制问题。主要设计思想是通过倒立摆的摆干的位置反馈给系统，从而作出参数调整，使之达到期望的结果。
首先，通过牛顿力学的分析和微分方程的计算，初步建立一级倒立摆的数学模型，并计算出一级倒立摆的状态空间描述。
然后，在给定的目标函数下，利用遗传算法的原理和搜索最优参数的方法，实现PID控制器参数整定与优化，这是一种寻求全局的优化方法，且无需对目标函数微分，可提高参数优化水平，简化优化的解析计算过程。
最后，结合MATLAB遗传算法工具箱对给定的一级倒立摆系统进行仿真，并对其结果分析。
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2 PID简介
2.1 PID控制的基本原理
工程实际中，将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。简称PID控制，又称PID调节[8]。其系统基本原理结构如图所示：
图 2.1 PID控制系统原理结构图
PID控制器各校正环节的作用如下：
a）比例环节。
即成比例地反映系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。控制作用的强弱取决于比例系数Kp，比例系数Kp越大，控制作用越强，过渡过程越快，静态偏差也就越小；但Kp越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。故Kp选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。
b）积分环节
可以消除系统稳态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。Ti越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡，但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当Ti较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定Ti。
c）积分环节
微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快