辽宁科技大学本科生毕业设计 第22页
4 一级倒立摆的模型
4.1 一级倒立摆的物理模型
倒立摆的物理构成可以表述为：光滑的导轨，可以在导轨上自由移动的小车，和一个质量块的摆杆。它们的铰接方式决定了它们在竖直平面内运动。水平方向的驱动力F使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到倒立摆系统的平衡。其模型如图4.1所示。
该系统的被控变量分别为：?1为摆杆偏离垂直方向的角度，x为小车相对参考点(导轨的最左端位置)的相对位移。摆杆的中心坐标为(x1,y1)。
实际上，倒立摆系统要保持竖直方向的稳定状态，前提是摆杆与竖直方向所成的角度必须在一定的范围之内。一般情况下，要求不得小于5?。
图 4.1 直线一级倒立摆的物理模型
4.2 一级倒立摆的数学模型
利用牛顿力学方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后， 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图4.2所示。
我们不妨做以下假设： M 小车质量
辽宁科技大学本科生毕业设计 第23页
m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1.摆杆及小车都是刚体。
2. 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象。
3. 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，而且无滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。
4. 实验过程中的库仑摩擦、各种动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。
对摆杆进行受力分析，建立一级倒立摆系统的数学模型。
对摆杆的受力分解如图4.2所示。图中?1为摆杆与竖直方向的夹角。F11'为小车对摆杆的水平分力，F12'为小车对摆杆的竖直分力。
图 4.2 对摆杆的受力分析
水平方向的方程为：
d2x1d2?lcos?)????F11'?F22?m12?m12(x?l1sin?1)?m1(x111 (4.1) dtdt??cos??m????m1l1??m1?x1111l1sin?1
辽宁科技大学本科生毕业设计 第24页
竖直方向的方程为：
d2y1d2?sin?)?m1g?F12'?F21?m1?m12(l1cos?1)?m1(?l1?112 (4.2) dtdt??sin??ml????m1l1?11111cos?1将两个方程合并：
???mglsin?co? I?ml2????ml?xs (4.3) 当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，则可以进行如下处理：
???2?0为了得到控制理论的习惯表达，即u为一般控制量，用u代cos???1,sin????,?表控制量的输入力F，线性化得到数学模型方程为：
?????mgl? (4.4) I?ml2???ml?x??bx??ml???u (4.5) ?M?m??xx
将式(4.4)，(4.5)进行拉普拉斯变化为：
???I?ml???s?s
22?mgl??s??mlX?s?s2?ml??s?s2?U?s??M?m?X?s?s2?bX?s?s (4.6)
整理后得以u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数，将上式整理得：
ml2s??s?q (4.7) G1?s???222U?s?bI?ml3?M?m?mglsbmglss4?s??qqq??其中q??M?m?I?ml2??ml?
2????
由现代控制理论可知，控制系统的状态空间方程为：
??AX?BuX (4.8)
Y?CX?Du
辽宁科技大学本科生毕业设计 第25页
??解代数方程，得如下状态空间方程： ?,? 方程组对?x?0????x?????0x???????0???????????0?1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml20mgl2I(M?m)?Mml20mgl(M?m)I(M?m)?Mml220?0??2x?????I?ml0?????x?I(M?m)?Mml2? (4.9) ???u??1?????0?ml?????0????2????I(M?m)?Mml??
?x????0?x??1000??x????u? (4.10) y????????????0010?????0????????}，?,?,?以小车加速度作为输入的系统状态方程，设摆杆长为0.25m，设X?{x,x?则有： u???x???0?x?????0x ?????????0?????????0100000029.40??x??0??x???1?0???????u (4.11) 1?????0???????0?????3??x????0?x??1000??x????u? (4.12) y????????????0010?????0???????辽宁科技大学本科生毕业设计 第26页
5 直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真
5.1 PID控制器的设计
本文采用的方法是在得到被控对象有效模型的基础上，通过评价MATLAB仿真控制系统的性能指标对控制器参数进行优化的。由于一级倒立摆是一个多输入多输出的多变量系统，而PID是一个单输入单输出的控制器，所以这里用两个PID控制器分别对一级倒立摆的两个变量进行控制。这两个变量分别是小车的位移，一级摆的角度。
由于应用遗传算法来整定PID参数其中有一个步骤是在利用遗传算法对PID参数的比例系数Kp、积分系数Ti和微分系数Td进行搜索时，可先根据经验粗略地选择一个搜索范围，然后可利用搜索结果缩小搜索范围再进行搜索，直至获得一个较合适的搜索范围和Kp，Ti，Td为止。
5.2 一级倒立摆系统的Simulink模型及系统仿真
5.2.1 MATLAB及Simulink
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件[16]，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
而Simulink是MATLAB最重要的组件之一[17]，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
5.2.2 一级倒立摆系统的Simulink模型
本文采用的方法是在得到被控对象有效模型的基础上，通过评价MATLAB仿真控制系统的性能指标对控制器参数进行优化的。由于一级倒立摆是一个多输入多输出的多变量系统，而PID是一个单输入单输出的控制器，所以这里用两个PID控制器分别对一级倒立摆的两个变量进行控制。这两个变量分别是小车的位移和一级摆的角度。