等价命题 在区间(k,??)上有两根 在区间(??,k)上有两根 在区间(k,??)或(??,k)上有一根 充要条件 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程
得出结果，在令x f(x)?0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，
?n和x?m检查端点的情况。 ac（3）反比例函数：y?(x?0)?y?a?
xx?b（4）指数函数：
y?ax(a?0,a?1)
指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y=a(a>0,a≠1)，图象恒过点（0,1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0
xy?logax(a?0,a?1)
指数运算法则： ； ； ； 对数函数：y=loga，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点（1，0）
两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 注意：（1）
y?ax与y?logax的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 （3）已知函数
f(x)?log1(x2?kx?2)的定义域为R，求k的取值范围。
2已知函数
f(x)?log1(x2?kx?2)的值域为R，求k的取值范围。
2六、
y?x?k(k?0)的图象： x 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。 七、补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?正比例函数f(x)?kx(k?0)
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②
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)；f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)? ； f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)；f(③
x1)?f(x1)?f(x2)? ； x2④
f(x1)?f(x2)?2f(x1?x2x?x2)?f(1)? ； 22三、导 数
１．求导法则：
(c)=0 这里c是常数,即常数的导数值为０。 (x)=nx 特别地：(x)=1,(x)= (２．导数的几何物理意义：
k＝f(x0) 表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V＝s(t) 表示即时速度。a=v(t) 表示加速度。 ３．导数的应用： ①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
㈠
/
/
/n/
n－1
/
－1
/
/
1x)=－x,(f(x)±g(x))= f(x)±g(x),(k?f(x))= k?f(x)。
/-2/////
f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。
f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
㈡
f?(x)?0时，f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。
f?(x)?0的根作为分界点，因为规定f?(x)?0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有
若将
f?(x)?0。∴当f?(x)?0时，f?(x)?0是f(x)为增函数的充分必要条件。
㈢
f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。
f(x)为增函数，一定可以推出f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或f?(x)?0。
当函数在某个区间内恒有要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
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f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必
㈣单调区间的求解过程，已知不等式
y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域;（2）求导数 y??f?(x)（3）解
f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
f(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。 但是，当x=x0时，函数有极值? f(x0)＝0
/
/
y?f(x)在某个区间内可导。
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则
11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ab②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 ④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
a?b?ab（当且仅当a?b时取等号） 2a?b2)? ； 基本变形：①a?b? ；(2若a,b?0，则
a2?b2a?b2?() ②若a,b?R，则a?b?2ab，
2222基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当ab?当a?bp（常数），当且仅当 时， ； ?S（常数），当且仅当 时， ；
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常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数
y?4x?91(x?)的最小值 。
2?4x2②若正数x,y满足x?2y?1，则
11?的最小值 。 xy三、绝对值不等式： ? ? ?
注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式： （1）设a,b?R，则a（2）|a|?（3）a2?0,(a?b)2?0（当且仅当 时取等号）
a（当且仅当 时取等号）；|a|??a（当且仅当 时取等号）
1111?；?? ； ababA?B?0?A?B
?b,ab?0?五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证??只需证??，只需证?? （4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：
a2?1?a；
n(n?1)?n
⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：log3?lg5?lg3?lg52)?lg15?lg16?lg4； 2n?(n?1)n(n?1)?
2(⑷利用常用结论：
Ⅰ、
k?1?k?1k?1?k?12k；
Ⅱ、
1111???k2k(k?1)k?1k ；
1111???（程度大） 2k(k?1)kk?1k9 当前第 页共33页
Ⅲ、
111111???(?) ； （程度小） k2k2?1(k?1)(k?1)2k?1k?1（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
如： 已知x已知x2?y2?a2，可设x?acos?,y?asin?；
?y2?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；
；
2x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?ab六、不等式的解法： （1）一元一次不等式：
Ⅰ、ax?b(aⅡ、ax?b(a；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
?0)：⑴若a?0，则 ；⑵若a?0，则 ；
?0)：⑴若a?0，则 ；⑵若a?0，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对?进行讨论： （5）绝对值不等式：若a?0，则|x|?a? ；|x|?a? ；
注意：(1).几何意义：|x|： ；|x?m|： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若a若a?0 则|a|? ；②
?0则|a|? ；③若a?0则|a|? ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴
f(x)f(x)?0? ；⑵?0? ； g(x)g(x) 当前第 10 页共33页